Нигде не плотное множество

Нигде не плотное множество — множество ${\displaystyle A}$ топологического пространства ${\displaystyle (X,\tau )}$, внутренность замыкания которого пуста (${\displaystyle \operatorname {Int} {\bar {A}}=\varnothing }$), иначе говоря, множество, которое не является плотным ни в одной окрестности пространства ${\displaystyle X}$.

Эквивалентно, множество ${\displaystyle A\subseteq X}$ является нигде не плотным в ${\displaystyle X}$ тогда и только тогда, когда в каждом непустом открытом множестве ${\displaystyle U}$ можно найти непустое открытое множество ${\displaystyle V}$, не пересекающееся с ${\displaystyle A}$ (то есть ${\displaystyle V\subseteq U\setminus A}$).

Свойства

• Семейство ${\displaystyle {\rm {NWD}}(X)}$ всех нигде не плотных множеств пространства ${\displaystyle X}$ образуют идеал подмножеств ${\displaystyle X}$, то есть:

  если ${\displaystyle A,B\in {\rm {NWD}}(X)}$, то ${\displaystyle A\cup B\in {\rm {NWD}}(X)}$,

  если ${\displaystyle A\in {\rm {NWD}}(X)}$ и ${\displaystyle B\subseteq A}$, то ${\displaystyle B\in {\rm {NWD}}(X)}$,

  ${\displaystyle X\notin {\rm {NWD}}(X)}$.

• Если ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X}$ и ${\displaystyle A}$ является нигде не плотным в ${\displaystyle Y}$ (${\displaystyle A\in {\rm {NWD}}(Y)}$ где топология в ${\displaystyle Y}$ индуцированна от ${\displaystyle X}$), тогда ${\displaystyle A\in {\rm {NWD}}(X)}$.
• Пусть ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X}$ и ${\displaystyle Y}$ — плотное подмножество в ${\displaystyle X}$. Тогда ${\displaystyle A\in {\rm {NWD}}(X)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A\in {\rm {NWD}}(Y)}$.
• Множество ${\displaystyle A}$ является нигде не плотным тогда и только тогда, когда его замыкание является нигде не плотным множеством. Таким образом, каждое нигде не плотное множество содержится в некотором замкнутом нигде не плотном множестве.
• Замкнутое нигде не плотное множество является границей открытого множества.

См. также

• Множество первой категории

Литература

• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• О. Виро. Элементарная топология. 2010.