Неравенство треугольника Ружа

Неравенство треугольника Ружа связывает все попарные множества разностей трёх множеств в произвольной группе.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle (G,+)}$ — группа и ${\displaystyle U,V,W\subset G}$.

Тогда ${\displaystyle |U|\cdot |V-W|\leq |V-U|\cdot |U-W|}$, где ${\displaystyle A-B=\left\lbrace {a-b:a\in A,b\in B}\right\rbrace }$.

Неравенство треугольника со сложением

Имеется ещё одно неравенство^[1], аналогичное неравенству треугольника Ружи, которое, однако, доказывается сложнее, чем классическое - с использованием неравенства Плюннеке-Ружа, которое само доказывается с испооьзованием классического неравенства Ружи.

${\displaystyle |U|\cdot |V+W|\leq |V+U|\cdot |U+W|}$

Доказательство

Рассмотрим функцию ${\displaystyle \varphi :(V-U)\times (U-W)\to (V-W)}$, определяемую как ${\displaystyle \varphi (x,y)=x+y}$. Тогда для каждого образа ${\displaystyle v-w\in V-W}$ существует не менее ${\displaystyle |U|}$ различных прообразов вида ${\displaystyle (v-u,u-w),u\in U}$. Это означает, что общее число прообразов не меньше, чем ${\displaystyle |V-W||U|}$. Значит, ${\displaystyle |U||V-W|\leq |V-U||U-W|}$

Аналогия с неравенством треугольника

Рассмотрим функцию^[2][3], определяющую "расстояние между множествами" в терминах разности Минковского:

${\displaystyle \rho (A,B)=\log {\frac {|A-B|}{\sqrt {|A||B|}}}}$

Эта функция не является метрикой, потому что для неё не выполняется равенство ${\displaystyle \rho (A,A)=0}$, но она, очевидно, симметрична, и из неравенства Ружа напрямую следует неравенство треугольника для неё:

${\displaystyle \rho (V,W)\leq \rho (V,U)+\rho (U,W)}$

Следствия

Подставив ${\displaystyle V=W=A,U=B}$, получим

${\displaystyle |B|\cdot |A-A|\leq |A-B|^{2}}$

${\displaystyle |A-A|\leq \left({\frac {|A-B|}{|B|}}\right)\cdot |A-B|}$

${\displaystyle |A-B|\leq K\cdot |B|,K\in {\mathbb {R} }\Rightarrow |A-A|\leq K^{2}\cdot |B|}$

Подставив ${\displaystyle W=-W'}$, получим

${\displaystyle |U|\cdot |V+W'|\leq |V-U|\cdot |U+W'|}$

Подставив ${\displaystyle U=-U'}$, получим

${\displaystyle |U'|\cdot |V-W|\leq |V+U'|\cdot |U'+W|}$.

См. также

• Неравенство Плюннеке — Ружа

Примечания

1. М. З. Гараев, Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка Архивная копия от 11 декабря 2017 на Wayback Machine, с. 17
2. Текстовое изложение лекции Харальда Хельфготта в СПбГУ (недоступная ссылка)
3. Лекция Харальда Хельфготта в СПбГУ