Неравенство Чебышёва для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышёва, утверждает, что если
и
то
Аналогично, если
и
то
Доказательство
Неравенство Чебышёва для сумм легко выводится из перестановочного неравенства:
Предположим, что
и
В виду перестановочного неравенства выражение
является максимально возможным значением скалярного произведения рассматриваемых последовательностей. Суммируя неравенства
-
получаем
или, разделив на :
Непрерывный случай
Существует также непрерывный аналог неравенства Чебышёва для сумм:
Если f(x) и g(x) — это вещественные интегрируемые на [0,1] функции, возрастающие или убывающие одновременно, то