Неравенство Фробениуса

В линейной алгебре неравенством Фробе́ниуса называют следующее неравенство для рангов матриц:

${\displaystyle \mathrm {rank} \,AB+\mathrm {rank} \,BC\leqslant \mathrm {rank} \,ABC+\mathrm {rank} \,B.}$

В этом неравенстве размерности матриц ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ должны позволять существование матрицы ${\displaystyle ABC}$ (т. е. эти матрицы имеют размерности ${\displaystyle i\times j}$, ${\displaystyle j\times k}$ и ${\displaystyle k\times l}$ соответственно).

Неравенство названо в честь открывшего его математика Ф. Г. Фробениуса.

Первое доказательство

Если ${\displaystyle U\subset V}$ и ${\displaystyle X:V\rightarrow W}$, то ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,X_{U}\leqslant \dim \mathrm {Ker} \,X=\dim V-\dim \mathrm {Im} \,X}$.

Запишем это неравенство для ${\displaystyle U=\mathrm {Im} \,BC,V=\mathrm {Im} \,B,X=A}$:

${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,B}=\dim \mathrm {Im} \,B-\dim \mathrm {Im} \,AB}$

Ясно также, что ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,BC}=\dim \mathrm {Im} \,BC-\dim \mathrm {Im} \,ABC}$^[1].

Второе доказательство

Рассмотрим блочную матрицу

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}}$,

применим к матрице ${\displaystyle M}$ цепочку элементарных преобразований, они, как известно, не изменяют ранг матрицы.

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&0\\AB&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&-BC\\AB&0\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}}$

Тогда ${\displaystyle \mathrm {rank} \,B+\mathrm {rank} \,ABC=\mathrm {rank} \,M=\mathrm {rank} {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}\geqslant \mathrm {rank} {\begin{pmatrix}BC&0\\0&AB\end{pmatrix}}=\mathrm {rank} \,AB+\mathrm {rank} \,BC}$

Примечания

1. Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 73.

Литература

• Carl D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.