Неравенство Минковского

Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой ${\displaystyle p}$-й степенью.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой, и функции ${\displaystyle f,g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$, то есть ${\displaystyle \int \limits _{X}|f|^{p}\,d\mu <\infty ,\;\int \limits _{X}|g|^{p}\,d\mu <\infty }$, где ${\displaystyle p\geq 1}$, и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда ${\displaystyle f+g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$, и более того:

${\displaystyle \left(\int \limits _{X}|f(x)+g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}\leq \left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}+\left(\int \limits _{X}|g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}.}$

Доказательство

Сначала докажем, что

${\displaystyle f,g\in L^{p}(E)\Rightarrow |f+g|^{p}}$ суммируема на ${\displaystyle E}$.

Введём множества: ${\displaystyle E_{1}=E[|f|\geq |g|]\quad E_{2}=E[|f|<|g|]}$.

${\displaystyle \int \limits _{E_{1}}|f+g|^{p}d\mu \leq \int \limits _{E_{1}}(|f|+|g|)^{p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{1}}|f|^{p}d\mu .}$
${\displaystyle \int \limits _{E_{2}}|f+g|^{p}d\mu \leq \int \limits _{E_{2}}(|f|+|g|)^{p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{2}}|g|^{p}d\mu .}$

${\displaystyle \int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu =\int \limits _{E_{1}}|f+g|^{p}d\mu +\int \limits _{E_{2}}|f+g|^{p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{1}}|f|^{p}d\mu +2^{p}\int \limits _{E_{2}}|g|^{p}d\mu <\infty .}$

Перейдём к доказательству неравенства Минковского:

${\displaystyle \int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu =\int \limits _{E}|f+g||f+g|^{p-1}d\mu \leq \int \limits _{E}|f||f+g|^{p-1}d\mu +\int \limits _{E}|g||f+g|^{p-1}d\mu ;}$

${\displaystyle |f|\in L^{p},|f+g|^{p-1}=|f+g|^{p/q}\in L^{q}\Rightarrow }$ можно применить к ним Неравенство Гёльдера:

${\displaystyle \int \limits _{E}|f||f+g|^{p-1}d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{(p-1)q}d\mu \right)^{1/q}=\left(\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p},}$
${\displaystyle \int \limits _{E}|g||f+g|^{p-1}d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|g|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{(p-1)q}d\mu \right)^{1/q}=\left(\int \limits _{E}|g|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}.}$

Таким образом:

${\displaystyle \int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}+\left(\int \limits _{E}|g|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}.}$

Делим левую и правую части на ${\displaystyle \left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}}$.

Неравенство доказано.

Примечание: В случае, когда ${\displaystyle \left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}=0}$ неравенство очевидно, так как справа стоят неотрицательные числа.

Замечание

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$ можно ввести норму:

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{1/p},}$

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

Частные случаи

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}$ или ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. ${\displaystyle L^{p}}$-норма в этом пространстве имеет вид:

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top },}$

и тогда

${\displaystyle \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in E.}$

Если ${\displaystyle n=2,3}$ и ${\displaystyle p=2}$, то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

Пространство l^p

Пусть ${\displaystyle X=\mathbb {N} ,\,{\mathcal {F}}=2^{\mathbb {N} },\,m}$ — счётная мера на ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Тогда множество всех последовательностей ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, таких что

${\displaystyle \|x\|_{p}=(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p})^{1/p}<\infty ,}$

называется ${\displaystyle l^{p}}$. Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

${\displaystyle \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}+y_{n}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in l^{p}.}$

Вероятностное пространство

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — вероятностное пространство. Тогда ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ состоит из случайных величин с конечным ${\displaystyle p}$-м моментом: ${\displaystyle \mathbb {E} \left[|X|^{p}\right]<\infty }$, где символ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

${\displaystyle \left(\mathbb {E} |X+Y|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}+\left(\mathbb {E} |Y|^{p}\right)^{1/p}.}$

Литература

• Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1973. — 352 с.

См. также

• Пространство Lp
• Минковский, Герман
• Неравенство Гёльдера