Неравенство Дуба для мартингалов

Неравенство Дуба — математическое выражение, относящееся к стохастической математике, определяющее верхнюю границу вероятности превышения случайным процессом некоторой величины.

Названо в честь американского математика Джозефа Дуба^[англ.].

Формулировка неравенства для мартингалов

Если:

1. стохастический процесс ${\displaystyle M(t,\omega )}$ является мартингалом
2. траектория процесса ${\displaystyle M(t)}$ является непрерывной для почти всех ω

Тогда для любых ${\displaystyle p\geq 1,T\geq 0,\lambda >0}$ выполняется неравенство:
${\displaystyle P[{\underset {0\leq t\leq T}{\sup }}|M(t)|\geq \lambda ]\leq {\frac {1}{\lambda ^{p}}}E[|M(T)|^{p}]}$

Доказательство

Применение

Литература

• Revuz, Daniel and Yor, Marc. Continuous martingales and Brownian motion (англ.). — Third. — Berlin: Springer, 1999. — ISBN 3-540-64325-7. (Theorem II.1.7)