Неравенство Гёльдера

Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств ${\displaystyle L^{p}}$.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой, а ${\displaystyle L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство функций вида ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ с конечной интегрируемой ${\displaystyle p}$‑ой степенью. Тогда в последнем определена полунорма:

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{1/p}}$,

где ${\displaystyle p\geq 1}$ , обычно подразумевается, что это натуральное число.

Пусть ${\displaystyle f\in L^{p}}$, а ${\displaystyle g\in L^{q}}$, где ${\displaystyle p,q\geq 1,\;1/p+1/q=1}$. Тогда ${\displaystyle f\cdot g\in L^{1}}$, и

${\displaystyle \|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}}$.

Доказательство

Переформулируем неравенство Гёльдера, выразив нормы через соответствующие интегралы.
Пусть ${\displaystyle X}$ — пространство с мерой ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle E\subset X}$, ${\displaystyle E}$ измеримо. Тогда:
${\displaystyle f\in L^{p},g\in L^{q},p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Rightarrow \int \limits _{E}|fg|\,d\mu <+\infty ,\;\int \limits _{E}\left|fg\right|\,d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|g|^{q}\,d\mu \right)^{1/q}}$
Для доказательства воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга):
${\displaystyle a,b\geq 0,p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Rightarrow a^{1/p}b^{1/q}\leq {\dfrac {a}{p}}+{\dfrac {b}{q}}}$

Положим
${\displaystyle a={\dfrac {|f(x)|^{p}}{\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu }}\quad b={\dfrac {|g(x)|^{q}}{\int \limits _{E}|g|^{q}d\mu }}\quad I_{1}=\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu >0\quad I_{2}=\int \limits _{E}|g|^{q}d\mu >0}$

Применяя неравенство, получаем:
${\displaystyle |f(x)g(x)|\leq I_{1}^{1/p}I_{2}^{1/q}\left({\dfrac {|f(x)|^{p}}{p\cdot I_{1}}}+{\dfrac {|g(x)|^{q}}{q\cdot I_{2}}}\right)}$

Заметим, что правая часть неравенства суммируема по множеству ${\displaystyle E}$ (отсюда вытекает и суммируемость левой части). Интегрируя неравенство по ${\displaystyle E}$, получаем:
${\displaystyle \int \limits _{E}|fg|\,d\mu \leq I_{1}^{1/p}I_{2}^{1/q}\left({\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}\right)=I_{1}^{1/p}I_{2}^{1/q}}$
Неравенство Гельдера доказано.
Примечание: Если ${\displaystyle I_{1}}$ или ${\displaystyle I_{2}}$ равен 0, то это значит, что ${\displaystyle f}$ или ${\displaystyle g}$ эквивалентны нулю на ${\displaystyle E}$, и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.

Частные случаи

Неравенство Коши — Буняковского

Положив ${\displaystyle p=q=2}$, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства ${\displaystyle L^{2}}$.

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}$ или ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. ${\displaystyle L^{p}}$-норма в этом пространстве имеет вид:

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top }}$,

и тогда

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}\cdot y_{i}|\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{q}\right)^{1/q},\;\forall x,y\in E}$.

Пространство l^p

Пусть ${\displaystyle X=\mathbb {N} ,\,{\mathcal {F}}=2^{\mathbb {N} },\,m}$ — счётная мера на ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Тогда множество всех последовательностей ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, таких что:

${\displaystyle \|x\|_{p}=\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty }$,

называется ${\displaystyle l^{p}}$. Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{q}\right)^{1/q},\;\forall x\in l^{p},y\in l^{q}}$.

Вероятностное пространство

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — вероятностное пространство. Тогда ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ состоит из случайных величин с конечным ${\displaystyle p}$-м моментом: ${\displaystyle \mathbb {E} \left[|X|^{p}\right]<\infty }$, где символ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

${\displaystyle \mathbb {E} |XY|\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\mathbb {E} |Y|^{q}\right)^{1/q},\;\forall X\in L^{p},Y\in L^{q}}$.

См. также

• Пространство Lp
• Неравенство Йенсена
• Гёльдер, Отто
• Неравенство Юнга
• Неравенство Минковского

Литература

• Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1.
• Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1973. — 352 с.