Неравенство Гарнака

Неравенство Гарнака — если функция ${\displaystyle U(M)=U(x_{1},...,x_{k})}$, гармоническая в ${\displaystyle k}$-мерном шаре ${\displaystyle Q_{R}}$ радиуса ${\displaystyle R}$ с центром в некоторой точке ${\displaystyle M_{0}}$, неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках ${\displaystyle M}$ внутри рассматриваемого шара справедливы следующие неравенства: ${\displaystyle R^{k-2}{\frac {R-r}{(R+r)^{k-1}}}U(M_{0})\leqslant U(M)\leqslant R^{k-2}{\frac {R+r}{(R-r)^{k-1}}}U(M_{0})}$, где ${\displaystyle r=\rho (M_{0},M)<R}$.

Доказательство

В силу формулы Пуассона для точек ${\displaystyle M}$ внутри шара ${\displaystyle Q_{R'}(R'<R)}$ имеем ${\displaystyle U(M)={\frac {\Gamma (k/2)}{2\pi ^{k/2}R'}}\int \limits _{\gamma }(Q_{R'})U(N){\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{({R'}^{2}+r^{2}-2R'r\cos \theta )^{r/2}}}d\sigma }$. Учитывая неравенства ${\displaystyle (R'-r)^{2}\leqslant {R'}^{2}+r^{2}-2R'r\cos \theta \leqslant (R'+r)^{2}}$, благодаря условию ${\displaystyle U(N)\geqslant 0}$ получим отсюда, что ${\displaystyle {R'}^{k-2}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R'+r)^{k}}}{\frac {\Gamma (k/2)}{2\pi ^{k/2}{R'}^{k-1}}}\int \limits _{\gamma }(Q_{R'})U(N)d\sigma \leqslant U(M)\leqslant {R'}^{k-2}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R'-r)^{k}}}{\frac {\Gamma (k/2)}{2\pi ^{k/2}{R'}^{k-1}}}\int \limits _{\gamma }(Q_{R'})U(N)d\sigma }$, или, применяя теорему Гаусса ${\displaystyle {R'}^{k-2}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R'+r)^{k}}}U(M_{0})\leqslant U(M)\leqslant {R'}^{k-2}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R'-r)^{k}}}U(M_{0})}$. Таким образом, переходя к пределу при ${\displaystyle R'\rightarrow R}$, получим неравенство Гарнака ${\displaystyle R^{k-2}{\frac {R-r}{(R+r)^{k-1}}}U(M_{0})\leqslant U(M)\leqslant R^{k-2}{\frac {R+r}{(R-r)^{k-1}}}U(M_{0})}$.

Литература

• Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций, М., Наука, 1968, 206 стр., тир 39500 экз.