Неравенство Брунна — Минковского

Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:

Формулировка

Пусть ${\displaystyle K_{0}}$ и ${\displaystyle K_{1}}$ — компактные выпуклые тела в n-мерном евклидовом пространстве. Рассмотрим сумму Минковского ${\displaystyle K_{\lambda }=(1-\lambda )K_{0}+\lambda K_{1}}$, ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$, то есть множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств ${\displaystyle K_{0}}$ и ${\displaystyle K_{1}}$ в отношении ${\displaystyle \lambda }$ к ${\displaystyle (1-\lambda )}$. Тогда функция

${\displaystyle f(\lambda )={\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} K_{\lambda }}}}$

есть вогнутая функция от ${\displaystyle \lambda }$.

Более того, функция ${\displaystyle f(\lambda )}$ линейна в том и только в том случае, когда ${\displaystyle K_{0}}$ и ${\displaystyle K_{1}}$ гомотетичны.

Замечания

• Неравенство легко выводится из своего частного случая

  ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} (A+B)}}\geq {\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} A}}+{\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} B}}}$

для любых компактных выпуклых тел ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — в n-мерном пространстве.

Следствия

• Изодиаметрическое неравенство: В евклидовом пространстве среди всех тел данного диаметра, шар имеет наибольший объём. Для доказательства теоремы достаточно применить неравенство Брунна — Минковского к данному телу ${\displaystyle W}$ и к его центральносимметричной копии ${\displaystyle W'}$.
• Теорема Линделёфа о многограннике: Среди всех выпуклых многогранников трёхмерного евклидова пространства с данными направлениями граней и с данным объёмом наименьшую площадь поверхности имеет многогранник, описанный вокруг шара.

История

Теорема установлена Брунном в 1887, уточнена и дополнена Минковским^[1], обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником^[2].

Довольно простое доказательство приведённое Бляшке использует симметризацию Штайнера. Другое, короткое и простое доказательство нашли Г. Хадвигер и Д. Оман.^[3] В нём неравенство доказывается сначала для пар параллелепипедов с параллельными гранями — эта часть эквивалентна неравенству между средним геометрическим и средним арифметическим. Далее по индукции доказывается для конечных объединений таких параллелепипедов. Неравенство следует поскольку любое тело можно приблизить таким объединиением.

Вариации и обобщения

• Неравенство Александрова — Фенхеля — неравенство на смешанный объём, которое влечёт неравенство Брунна — Минковского.

Литература

1. Minkowski, Hermann. Geometrie der Zahlen (неопр.). — Leipzig: Teubner, 1896.
2. Lyusternik, Lazar A. Die Brunn-Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen (нем.) // Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série) : magazin. — 1935. — Bd. III. — S. 55—58.
3. H. Hadwiger and D. Ohmann, Brunn-Minkowskischer Satz und Isoperimetrie, Math. Zeit. 66 (1956), 1–8

• В. Бляшке, Круг и шар. М.: Наука, 1967.
• Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. — Наука, 1980.
• Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.