Неравенство Богомолова — Миаоки — Яу

Неравенство Богомолова — Миаоки — Яу — это неравенство

${\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}}$

между числами Чжэня^[англ.]* компактных комплексных поверхностей общего вида. Главный интерес в этом неравенстве — возможность ограничить возможные топологические типы рассматриваемого вещественного 4-многообразия. Неравенство доказали независимо Яу^[1][2] и Миаоки^[3], после того как Ван де Вен^[4] и Фёдор Богомолов^[5]доказали более слабые версии неравенства с константами 8 и 4 вместо 3.

Борель и Хирцебрух показали, что неравенство нельзя улучшить, найдя бесконечно много случаев, в которых выполняется равенство. Неравенство неверно для положительных характеристик — Ленг^[6] и Истон^[7] привели примеры поверхностей с характеристикой p, такие как обобщённая поверхность Рейно^[англ.], для которых неравенство не выполняется.

Формулировка неравенства

Обычно неравенство Богомолова — Миаоки — Яу формулируется следующим образом.

Пусть X — компактная комплексная поверхность общего типа^[англ.], и пусть ${\displaystyle c_{1}=c_{1}(X)}$ и ${\displaystyle c_{2}=c_{2}(X)}$ — первый и второй класс Чжэня^[англ.]* комплексного касательного расслоения поверхности. Тогда

${\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}.}$

Более того, если выполняется равенство, то X является фактором шара. Последнее утверждение является следствием подхода Яу в дифференциальной геометрии, который основывается на его разрешении гипотезы Калаби^[англ.].

Поскольку ${\displaystyle c_{2}(X)=e(X)}$ является топологической характеристикой Эйлера, а по теореме о сигнатуре Тома — Хирцебруха^[англ.] ${\displaystyle c_{1}^{2}(X)=2e(X)+3\sigma (X)}$, где ${\displaystyle \sigma (X)}$ является сигнатурой формы пересечений на второй когомологии, неравенство Богомолова — Миаоки — Яу можно переписать как ограничение на топологический тип поверхности общего вида:

${\displaystyle \sigma (X)\leqslant {\frac {1}{3}}e(X),}$

и более того, если ${\displaystyle \sigma (X)=(1/3)e(X)}$, универсальное покрытие является шаром.

Вместе с неравенством Нётера^[англ.] неравенство Богомолова — Миаоки — Яу устанавливает границы при поиске комплексных поверхностей. Рассмотрение топологических типов, которые могут быть реализованы как комплексные поверхности, называется географией поверхностей^[англ.]. См. статью Поверхности общего типа^[англ.].

Поверхности с c₁² = 3c₂

Пусть X — поверхность общего типа с ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}}$, так что в неравенстве Богомолова — Миаоки — Яу имеет место равенство. Для таких поверхностей Яу^[1] доказал, что X изоморфно фактору единичного шара в ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{2}}$ по бесконечной дискретной группе. Примеры поверхностей, для которых выполняется равенство, найти трудно. Борель^[8] показал, что существует бесконечно много значений ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}}$, для которых поверхности существуют. Мамфорд^[9] нашёл ложную проективная плоскость с ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=9}$, которая имеет минимальное возможное значение, поскольку ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}}$ всегда делится на 12, а Прасад и Йен^[10][11], а также Картрайт и Стегер^[12] показали, что существует ровно 50 ложных проективных поверхностей.

Бартель, Хирцебрух и Хёфер^[13] дали метод поиска примеров, который, в частности, даёт поверхности X с ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=3^{2}5^{4}}$. Исида^[14] нашёл фактор такой поверхности с ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=45}$ и если взять неразветвлённые покрытия этого фактора, получим примеры с ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=45}$ для любого положительного k. Картрайт и Стегер ^[12] нашли примеры с ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=9n}$ для любого положительного целого n.

Примечания

1. Yau, 1977.
2. Yau, 1978.
3. Miyaoka, 1977.
4. Van de Ven, 1966.
5. Bogomolov, 1978.
6. Lang, 1983.
7. Easton, 2008.
8. Borel, 1963.
9. Mumford, 1979.
10. Prasad, Yeung, 2007.
11. Prasad, Yeung, 2010.
12. Cartwright, Steger, 2010, с. 11–13.
13. Barthel, Hirzebruch, Höfer, 1987.
14. Ishida, 1988.

Литература

• Donald I. Cartwright, Tim Steger. Enumeration of the 50 fake projective planes // Comptes Rendus Mathematique. — Elsevier Masson SAS, 2010. — Т. 348, вып. 1. — doi:10.1016/j.crma.2009.11.016.
• Donald I. Cartwright, Tim Steger. Enumeration of the 50 fake projective planes // Comptes Rendus Mathematique. — Elsevier Masson SAS, 2010. — Т. 348, вып. 1. — С. 11–13. — doi:10.1016/j.crma.2009.11.016.
• Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Springer-Verlag, Berlin, 2004. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). — ISBN 978-3-540-00832-3.
• Gottfried Barthel, Friedrich Hirzebruch, Thomas Höfer. Geradenkonfigurationen und Algebraische Flächen. — Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1987. — (Aspects of Mathematics, D4). — ISBN 978-3-528-08907-8.
• Fedor A. Bogomolov. Holomorphic tensors and vector bundles on projective manifolds // Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya. — 1978. — Т. 42, вып. 6. — С. 1227–1287. — ISSN 0373-2436.
• Armand Borel. Compact Clifford-Klein forms of symmetric spaces // Topology. an International Journal of Mathematics. — 1963. — Т. 2, вып. 1-2. — С. 111–122. — ISSN 0040-9383. — doi:10.1016/0040-9383(63)90026-0.
• Donald I. Cartwright, Tim Steger. Enumeration of the 50 fake projective planes. — Comptes Rendus Mathematique. — Elsevier Masson SAS, 2010. — Т. 348. — С. 11–13. — doi:10.1016/j.crma.2009.11.016.
• Robert W. Easton. Surfaces violating Bogomolov-Miyaoka-Yau in positive characteristic // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2008. — Т. 136, вып. 7. — С. 2271–2278. — ISSN 0002-9939. — doi:10.1090/S0002-9939-08-09466-5.
• Masa-Nori Ishida. An elliptic surface covered by Mumford's fake projective plane // The Tohoku Mathematical Journal. Second Series. — 1988. — Т. 40, вып. 3. — С. 367–396. — ISSN 0040-8735. — doi:10.2748/tmj/1178227980.
• William E. Lang. Arithmetic and geometry, Vol. II. — Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1983. — Т. 36. — С. 167–173. — (Progr. Math.).
• Yoichi Miyaoka. On the Chern numbers of surfaces of general type // Inventiones Mathematicae. — 1977. — Т. 42, вып. 1. — С. 225–237. — ISSN 0020-9910. — doi:10.1007/BF01389789.
• David Mumford. An algebraic surface with K ample, (K²)=9, p_g=q=0 // American Journal of Mathematics. — The Johns Hopkins University Press, 1979. — Т. 101, вып. 1. — С. 233–244. — ISSN 0002-9327. — doi:10.2307/2373947. — JSTOR 2373947.
• Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Fake projective planes // Inventiones Mathematicae. — 2007. — Т. 168, вып. 2. — С. 321–370. — doi:10.1007/s00222-007-0034-5. — arXiv:math/0512115.
• Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Addendum to "Fake projective planes" // Inventiones Mathematicae. — 2010. — Т. 182, вып. 1. — С. 213–227. — doi:10.1007/s00222-010-0259-6.
• Antonius Van de Ven. On the Chern numbers of certain complex and almost complex manifolds // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — National Academy of Sciences, 1966. — Т. 55, вып. 6. — С. 1624–1627. — ISSN 0027-8424. — doi:10.1073/pnas.55.6.1624. — JSTOR 57245.
• Shing Tung Yau. Calabi's conjecture and some new results in algebraic geometry // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — National Academy of Sciences, 1977. — Т. 74, вып. 5. — С. 1798–1799. — ISSN 0027-8424. — doi:10.1073/pnas.74.5.1798. — JSTOR 67110.
• Shing Tung Yau. On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1978. — Т. 31, вып. 3. — С. 339–411. — ISSN 0010-3640. — doi:10.1002/cpa.3160310304.