Неравенство Бесселя

В математике неравенство Бесселя — утверждение о коэффициентах элемента ${\displaystyle x}$ в гильбертовом пространстве касательно ортонормированной последовательности.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle H}$ — гильбертово пространство, и ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots }$ — ортонормированная последовательность элементов ${\displaystyle H}$. Тогда для произвольного ${\displaystyle x\in H}$ выполняется неравенство^[1]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\|\langle x,e_{k}\rangle \|^{2}\leqslant \|x\|^{2},}$

где ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle }$ обозначает скалярное произведение в пространстве ${\displaystyle H}$.

Неравенство Бесселя следует из следующего равенства:

${\displaystyle 0\leqslant {\bigg \|}x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}{\bigg \|}^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},}$

которое выполняется для произвольного ${\displaystyle n\geqslant 1}$.

См. также

• Равенство Парсеваля

Ссылки

• Bessel's Inequality Архивная копия от 29 июня 2011 на Wayback Machine статья на сайте MathWorld.
• П.П. Вагін, Б.А. Остудін, Г.А. Шинкаренко Основи функціонального аналізу (Курс лекцій). — Львів : Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2005. — С. 109. — 140 с. — ISBN УДК 517.98(042.4) (недоступная ссылка)

Примечания

1. Ильин, Позняк, 2002, теорема 10.4, с. 318.

Литература

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2 ч. Часть II. — 4-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 464 с. — ISBN 5-9221-0131-5.