Неравенство Бернштейна (математический анализ)

Неравенство Бернштейна связывает норму производной многочлена с нормой самого многочлена.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle f_{n}}$ — вещественнозначный тригонометрический многочлен степени ${\displaystyle n}$, тогда:

${\displaystyle \|f_{n}'\|_{\infty }\leqslant n\cdot \|f_{n}\|_{\infty }}$.

История

• Неравенство с константой ${\displaystyle 2n}$ было установлено российским математиком Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году.
• Уточнение было получено Эдмундом Ландау, он доказал неравенство с оптимальной константой ${\displaystyle n}$.
• В 1914 году Марсель Рис перенёс последнее неравенство на случай тригонометрических полиномов с произвольными комплексными коэффициентами.
• А. Зигмунд в 1933 году перенес его на пространства ${\displaystyle L^{p}}$ при ${\displaystyle p\geqslant 1}$:

  ${\displaystyle \|f_{n}'\|_{p}\leqslant n\|f_{n}\|_{p}}$.

• В. В. Арестов в 1979 году доказал справедливость неравенства и при ${\displaystyle 0<p<1}$.
• Кроме того, стали развиваться и так называемые неравенства Бернштейна для разных метрик вида

${\displaystyle \|f_{n}'\|_{p}\leqslant C(n,p)\|f_{n}\|_{\infty }}$.

Ссылки

• Парфененков Андрей Владимирович НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИДЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ В ПЛОСКОСТИ