Неравенство Бернулли

Нера́венство Берну́лли утверждает^[1]: если вещественное число ${\displaystyle x>-1}$, то:

${\displaystyle (1+x)^{n}\geqslant 1+nx}$ для всех натуральных ${\displaystyle n\geqslant 1.}$

Доказательство

Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n. При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:

${\displaystyle (1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geqslant (1+x)(1+nx)\geqslant (1+nx)+x=1+(n+1)x}$,

ч.т.д.

Обобщенное неравенство Бернулли

Обобщенное неравенство Бернулли утверждает^[1], что при ${\displaystyle x>-1\!\ }$ и ${\displaystyle n\in \mathbb {R} }$:

• если ${\displaystyle n\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )}$, то ${\displaystyle (1+x)^{n}\geqslant 1+nx}$
• если ${\displaystyle n\in (0;1)\!\ }$, то ${\displaystyle (1+x)^{n}\leqslant 1+nx}$
• при этом равенство достигается в двух случаях: ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\forall x\neq -1,n=0,n=1\\\forall n\neq 0,x=0\end{matrix}}\right.}$

Доказательство

Рассмотрим ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{n}-nx\!\ }$, причем ${\displaystyle x>-1,n\neq 0,n\neq 1\!\ }$.
Производная ${\displaystyle f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0\!\ }$ при ${\displaystyle x=x_{0}=0\!\ }$, поскольку ${\displaystyle n\neq 0\!\ }$.
Функция ${\displaystyle f\!\ }$ дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}\!\ }$. Поэтому ${\displaystyle f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}\!\ }$. Получаем:

• ${\displaystyle f''(x)>0\!\ }$ ⇒ ${\displaystyle f(x)\geqslant f(x_{0})\!\ }$ при ${\displaystyle n\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )}$
• ${\displaystyle f''(x)<0\!\ }$ ⇒ ${\displaystyle f(x)\leqslant f(x_{0})\!\ }$ при ${\displaystyle n\in (0;1)\!\ }$

Значение функции ${\displaystyle f(x_{0})=1\!\ }$, следовательно, справедливы следующие утверждения:

• если ${\displaystyle n\in (-\infty ;0)\cup [1;+\infty )}$, то ${\displaystyle (1+x)^{n}\geqslant 1+nx}$
• если ${\displaystyle n\in (0;1]\!\ }$, то ${\displaystyle (1+x)^{n}\leqslant 1+nx}$

Несложно заметить, что при соответствующих значениях ${\displaystyle x_{0}=0\!\ }$ или ${\displaystyle n=0,n=1\!\ }$ функция ${\displaystyle f(x)=f(x_{0})\!\ }$. При этом в конечном неравенстве исчезают ограничения на ${\displaystyle n\!\ }$, заданные в начале доказательства, поскольку для них исполняется равенство. ■

Замечания

• Неравенство также справедливо для ${\displaystyle x\geqslant -2}$ (при ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$), если исключить случай, когда получается ноль в степени ноль. Доказательство для случая ${\displaystyle x\in \left[-2,-1\right)}$ можно провести тем же методом математической индукции:

${\displaystyle (1+x)^{n+1}+(1+x)^{n}=(1+x)^{n}(1+x+1)\geqslant (1+nx)(1+x+1)=1+(n+1)x+1+nx(1+x).}$

Так как при ${\displaystyle x\in \left[-2,-1\right)}$ выполняется ${\displaystyle (1+x)^{n}\leqslant 1\leqslant 1+nx(1+x)}$, то ${\displaystyle (1+x)^{n+1}\geqslant 1+(n+1)x}$.

• Неравенство Бернулли также может быть представлено в виде:

${\displaystyle (1+x)^{n}>1+nx,{\text{ где }}{\begin{cases}x>-1\\x\neq 0\\n>1,n\in \mathbb {N} \\\end{cases}}.}$

Примечания

1. Бронштейн, Семендяев, 1985, с. 212.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — 544 с.