Неравенство Безиковича

Неравенство Безиковича в дифференциальной геометрии — соотношение, которое даёт нижнюю оценку площади поверхности с краем, допускающей параметризацию квадратом ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$. Названо по имени Абрама Безиковича.

Формулировка

Для римановой метрики ${\displaystyle g}$ на ${\displaystyle n}$-мерном кубе ${\displaystyle [0,1]^{n}}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \mathop {\rm {vol}} ([0,1]^{n},g)\geq \prod _{i=1}^{n}a_{i}}$,

где ${\displaystyle a_{i}}$ обозначает расстояние в ${\displaystyle g}$ между ${\displaystyle i}$-ой парой противоположных граней.

Следствия

• Пусть ${\displaystyle g}$ есть метрика без сопряжённых точек на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, которая совпадает с евклидовой вне компактного множества. Тогда ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},g)}$ изометрично евклидову пространству.

Вариации и обобщения

• Неравенство Безиковича с константой выполняется для произвольных метрик на квадрате, вместо объёма можно взять меру Хаусдорфа той же размерности.

• Для финслеровых метрик верна похожая оценка с константой, которая зависит от размерности и типа объёма.

Литература

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.

• Сергей Иванов. Некоторые геометрические неравенства и теоремы жесткости  (неопр.). Лекториум (07.09.12). Дата обращения: 4 июня 2020. Архивировано 4 июня 2020 года.