Непрерывная функция

Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения. Вариацию этого понятия для функций комплексной переменной см. в статье Комплексный анализ.

Определение

Пусть и . Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке .

  • Определение через предел: функция непрерывна в точке , предельной для множества , если имеет предел в точке , и этот предел совпадает со значением функции :
  • Определение, использующее ε-δ-формализм: функция непрерывна в точке , если для любого существует такое, что для любого ,
Комментарий: По сравнению с определением предела функции по Коши в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента удовлетворять условию , то есть быть отличными от а.
  • Определение, использующее o-символику: функция непрерывна в точке , если
    , при .
  • Определение через колебания: функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее, .

Точки разрыва

Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если  — значение функции в точке , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с . На языке окрестностей условие разрывности функции в точке получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки области значений функции , что как бы мы близко не подходили к точке области определения функции , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки .

Классификация точек разрыва в ℝ¹

Классификация разрывов функций зависит от того, как устроены множества X и Y. Здесь приведена классификация для простейшего случая — . Таким же образом классифицируют и особые точки (точки, где функция не определена). Стоит заметить, что классификация в различается от автора к автору.

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

  • если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы и скачки.
  • если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва.

Устранимая точка разрыва

Если предел функции существует и конечен, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

,

то точка называется точкой устранимого разрыва функции (при отсутствии  — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точка разрыва «скачок»

Разрыв «скачок» (особая точка «скачок») возникает, если

, и пределы конечны.

Точка разрыва «полюс»

Разрыв «полюс» (особая точка «полюс») возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.

или .[источник не указан 3294 дня]

Точка существенного разрыва

В точке существенного разрыва (существенной особой точке) хотя бы один из односторонних пределов вообще отсутствует.

Классификация изолированных особых точек в ℝn, n>1

Для функций и нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация изолированных особых точек (то есть таких, где в какой-то окрестности нет других особых точек) сходная.

  • Если , то это устранимая особая точка (аналогично функции действительного аргумента).
  • Полюс определяется как . В многомерных пространствах, если модуль числа растёт, считается, что , каким путём бы он ни рос.[источник не указан 3294 дня]
  • Если предел вообще не существует, это существенная особая точка.

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в считается скачком, в пространствах бо́льших размерностей — существенная особая точка.

Свойства

Локальные

  • Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
  • Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к .
  • Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке .
  • Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке .
  • Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их композиция непрерывна в точке .

Глобальные

  • Теорема о равномерной непрерывности: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
  • Теорема Вейерштрасса о функции на компакте: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
  • Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .
  • Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .
  • Теорема о промежуточном значении: если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .
  • Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
  • Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами и .
  • Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.
  • График непрерывной на отрезке функции является кривой.

Примеры

Элементарные функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом

Функция задаваемая формулой

непрерывна в любой точке Точка является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

Функция знака

Функция

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке .

Точка является точкой разрыва первого рода, причём

,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Функция Хевисайда

Функция Хевисайда, определяемая как

является всюду непрерывной, кроме точки , где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле

Функция

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция разрывна в каждой точке, поскольку в сколь угодно малой окрестности любой точки имеются как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

Функция

называется функцией Римана или «функцией Тома».

Эта функция непрерывна на множестве иррациональных чисел (), поскольку предел функции в каждой иррациональной точке равен нулю (если последовательность , то с необходимостью ). Во всех же рациональных точках она разрывна.

Вариации и обобщения

Равномерная непрерывность

Функция называется равномерно непрерывной на , если для любого существует такое, что для любых двух точек и таких, что , выполняется .

Каждая равномерно непрерывная на множестве функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

  • функция называется полунепрерывной снизу в точке , если для любого существует такая окрестность , что для всякого ;
  • функция называется полунепрерывной сверху в точке , если для любого существует такая окрестность , что для всякого .

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

  • если взять функцию , непрерывную в точке , и уменьшить значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке ;
  • если взять функцию , непрерывную в точке , и увеличить значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке .

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

  • если , то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке ;
  • если , то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке .

Односторонняя непрерывность

Функция называется непрерывной слева (справа) в точке её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство:

Непрерывность почти всюду

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция такова, что она непрерывна всюду на , кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

Примечания

Литература

  • Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.

Read other articles:

ДеревняКишкинская 57°54′34″ с. ш. 38°18′57″ в. д.HGЯO Страна  Россия Субъект Федерации Ярославская область Муниципальный район Мышкинский Сельское поселение Приволжское История и география Высота центра 124 м Часовой пояс UTC+3:00 Население Население →0[1] чел�...

 

Missões diplomáticas da Suécia. Embaixada da Suécia em Berlim, Alemanha. Embaixada da Suécia em Berna, Suíça. Embaixada da Suécia em Budapeste, Hungria. Embaixada da Suécia em Copenhague, Dinamarca. Embaixada da Suécia em Helsinque, Finlândia. Embaixada da Suécia em Oslo, Noruega. Embaixada da Suécia em Praga, República Tcheca. Embaixada da Suécia em Tallin, Estônia. Embaixada da Suécia em Tbilisi, Geórgia. Embaixada da Suécia em Vilna, Lituânia. Embaixada da Suécia em Wa...

 

Elm cultivar Ulmus × hollandica 'Daveyi'Wind-pruned Davey Elm, Trenance Farm, Cornwall, UKHybrid parentageU. glabra × U. minorCultivar'Daveyi'OriginEngland The Davey Elm, Ulmus × hollandica 'Daveyi', is an English hybrid cultivar of unknown specific origin, generally restricted to the valleys of Cornwall. Its apparent south-west England provenance, along with its foliage and habit, suggest that it may be a hybrid of Wych Elm and Cornish Elm.[1][2] Description The wide-sprea...

Duta Besar Lesotho untuk Indonesia Berikut adalah daftar duta besar Kerajaan Lesotho untuk Republik Indonesia. Nama Kredensial Selesai tugas Ref. Lebohang K. Moleko 13 Juli 1995 [1] Ntsebe Idlett Kokome 9 Maret 2012 [2][cat. 1] Lineo Poopa 9 November 2018 [3][cat. 1] Catatan ^ a b Berkedudukan di Kuala Lumpur. Lihat pula Daftar Duta Besar Indonesia untuk Lesotho Daftar duta besar untuk Indonesia Referensi ^ Inventaris Arsip Tekstual Sekretariat Negara S...

 

Стара Миколаївська церква (Харків) Розташування  Україна Загальний вигляд церкви Загальний вигляд церкви Миколаївська церква (стара) — православний мурований храм у місті Харкові, вирішений у формах з елементами козацького і наришкінського бароко. Збудована в 1764�...

 

Main article: 1928 United States presidential election 1928 United States presidential election in California ← 1924 November 6, 1928 1932 → Turnout79.78% (of registered voters) 6.44 pp 56.98% (of eligible voters) 8.45 pp[1]   Nominee Herbert Hoover Al Smith Party Republican Democratic Alliance Prohibition Home state California New York Running mate Charles Curtis Joseph Taylor Robinson Electoral vote 13 0 Popular vote 1,162,323 614,365 P...

Czech TV series or program NinetiesGenreCrimeWritten byJosef MarešDirected byPeter BebjakStarringMartin FingerOndřej SokolKryštof BartošCountry of originCzech RepublicOriginal languageCzechNo. of seasons1No. of episodes6ProductionExecutive producerMatěj StehlíkProducerMichal ReitlerCinematographyMartin ŽiaranEditorMarek KráľovskýRunning time61 minutesOriginal releaseNetworkČT1Release2022 (2022)RelatedPřípady 1. oddělení Nineties (Czech: Devadesátky) is a Czech crime ...

 

جواز سفر مغربيالغلاف الأمامي للجواز السفر المغربي البيومتري.معلومات عامةنوع المستند جواز سفرالبلد المغربالغرض محددصادر عن  المغربمتطلبات الاستحقاق الجنسية المغربيةالانتهاء صلاحية الجواز خمس سنواتتعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات جواز السفر المغربي هو وثيقة وط�...

 

توسع الكون توسع الكون هو الاسم الذي يطلق على سرعة تباعد المجرات عن بعضها البعض وعن مجرة درب التبانة، ولقد أكتشفت هذه الظاهرة عام 1998م من قبل مجموعتي بحث دوليتين. وحاول علماء الفلك منذ آلاف السنين الإجابة على سؤال أساسي حول عمر وحجم الكون. هل الكون لانهائي، أو هل يملك الكون حو...

  لمعانٍ أخرى، طالع الذاري (توضيح). قرية الذاري  - قرية -  تقسيم إداري البلد  اليمن المحافظة محافظة المحويت المديرية مديرية ملحان العزلة عزلة بني وهب السكان التعداد السكاني 2004 السكان 463   • الذكور 262   • الإناث 201   • عدد الأسر 59   • عدد المساكن 54 معل�...

 

Fertilisasi pada manusia. Sperma dan ovum bersatu melalui proses fertilisasi. Sistem reproduksi manusia biasanya melibatkan fertilisasi internal dengan hubungan seksual. Dalam proses ini, laki-laki memasukkan penis ke dalam vagina dan berejakulasi semen yang mengandung sperma. Sebagian kecil dari sperma melewati leher rahim ke dalam rahim, kemudian ke saluran telur untuk pembuahan ovum. Hanya satu sperma yang dibutuhkan untuk membuahi ovum. Setelah berhasil pembuahan, ovum dibuahi atau zigot,...

 

Former English county Hereford and WorcesterHistory • Created1974 • Abolished1998 • Succeeded byHerefordshire (unitary)Worcestershire (shire county) StatusNon-metropolitan countyONS code25GovernmentHereford and Worcester County Council • HQWorcesterCoat of arms of Hereford and Worcester County Council Subdivisions • TypeNon-metropolitan districts Hereford and Worcester (/ˈhɛrɪfərd ... ˈwʊstər/ HERR-if-ərd ......

This article is missing information about the description of the flags. Please expand the article to include this information. Further details may exist on the talk page. (May 2022) This page lists the municipal flags of Chūbu region, Japan. It is a part of the List of Japanese municipal flags, which is split into regions due to its size. Complete lists of Japanese municipal flags pages Map of the regions of Japan. From northeast to southwest: Hokkaidō (red), Tōhoku (yellow), Kantō (green...

 

Season of television series Desperate HousewivesSeason 4ABC promotional poster for the fourth season of Desperate Housewives. From left to right: Bree, Edie, Susan, Gabrielle, and Lynette.Starring Teri Hatcher Felicity Huffman Marcia Cross Eva Longoria Nicollette Sheridan Ricardo Antonio Chavira Andrea Bowen Doug Savant Kyle MacLachlan Dana Delany Brenda Strong James Denton Country of originUnited StatesNo. of episodes17ReleaseOriginal networkABCOriginal releaseSeptember 30, 2007 (2007-0...

 

Iranian actor (1957–2023) Atila Pesyaniآتیلا پسیانیPesyani in 2019Born(1957-04-30)30 April 1957Tehran, IranDied6 October 2023(2023-10-06) (aged 66)Paris, FranceResting placeBehesht-e Zahra CemeteryAlma materCollege of Fine ArtsOccupationActorYears active1984–2023Spouse Fatemeh Naghavi ​(m. 1979)​Children2, including SetarehParentJamileh Sheykhi (mother) Atila Pesyani (Persian: آتیلا پسیانی, 30 April 1957[1] – 6 Oc...

South Korean film director and screenwriter In this Korean name, the family name is Na. Na Hong-jinBorn1974 (age 48–49)Seoul, South KoreaEducationKorea National University of Arts Master degreeOccupation(s)Film director, screenwriterYears active2007–presentKorean nameHangul나홍진Hanja羅泓軫Revised RomanizationNa Hong-jinMcCune–ReischauerNa Hong-chin Na Hong-jin (Korean: 나홍진, born 1974) is a South Korean film director, producer and screenwriter. Na came...

 

American hedge fund This section needs expansion. You can help by adding to it. (August 2020) Lone Pine CapitalHeadquarters in Greenwich, Connecticut, USTypePrivate companyIndustryInvestment fundFounded1997 (1997)FounderStephen MandelHeadquartersGreenwich, Connecticut, USKey peopleStephen Mandel, presidentProductsHedge fundAUMUS$36 billion(31 March 2021)[1]Websitewww.lonepinecapital.com Lone Pine Capital is an American-based hedge fund and investment advisor headquartered in...

 

District in Sabah, MalaysiaTuaran District Daerah TuaranDistrictTuaran District Office SealCoordinates: 6°11′00″N 116°14′00″E / 6.18333°N 116.23333°E / 6.18333; 116.23333Country MalaysiaState SabahDivisionWest CoastCapitalTuaranGovernment • District OfficerSyahrin Samsir • MPWilfred Madius Tangau (UPKO) • MLA Jahid Jahim (GRS-PBS) (Tamparuli) Hajiji Noor (GRS-GAGASAN) (Sulaman) Joniston Bangkuai (GRS-PBS) (Kiulu...

1933 film This article is about the 1933 film. For the place in Antarctica, see The Keyhole (Antarctica). This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: The Keyhole 1933 film – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2019) (Learn how and when to remove this template message) The Keyholelobby ...

 

Osbaldo Lastra Nazionalità  Ecuador Altezza 179 cm Calcio Ruolo Centrocampista Squadra  Emelec Carriera Squadre di club1 2001-2002 Atlético Jubones? (?)2002-2003→  Audaz Octubrino? (?)2003-2005 Deportivo Quito? (?)2005-2006→  Audaz Octubrino? (?)2006-2007 Deportivo Quito0 (0)2007-2008 Aucas23+ (1+)2008 Universitario? (?)2009-2011 Deportivo Azogues26 (5)2011-2012 Macará61 (3)2013- Emelec119 (4) Nazionale 2015 Ecuador6 (0) 1 I due nu...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!