Необходимое условие сходимости рядов

Необходимое условие сходимости ряда (Необходимый признак сходимости ряда):

Для сходимости ряда ${\displaystyle \sum a_{k}}$ необходимо, чтобы последовательность ${\displaystyle (a_{k})}$ была бесконечно малой.

Доказательство

Пусть исходный ряд сходится (последовательность частичных сумм имеет конечный предел). По условию последовательности частичных сумм ${\displaystyle (s_{k})}$ и ${\displaystyle (s_{k+1})}$ имеют общий конечный предел ${\displaystyle s}$, но ${\displaystyle |a_{k+1}|=|\,s_{k+1}-\,s_{k}|}$, а потому ${\displaystyle |a_{k+1}|\rightarrow 0}$, что равносильно бесконечной малости ${\displaystyle (a_{k})}$.

Замечание

Данный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что ${\displaystyle (a_{k})\rightarrow 0}$ не следует, что ряд сходится.

Так, гармонический ряд ${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}}+...}$ расходится, хотя необходимое условие сходимости ряда для него выполняется.

Литература

• Богданов Ю. С. — Лекции по математическому анализу — Часть 2 — Минск: Издательство БГУ — 1978.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.