Необходимое и достаточное условия

Нахождение в фиолетовой области является достаточным для нахождения в A, но не необходимым. Нахождение в A необходимо для нахождения в фиолетовой области, но не достаточно. Нахождение в A и нахождение в B необходимо и достаточно для нахождения в фиолетовой области.

Вкратце: Необходимое — условие, без которого утверждение X заведомо не может быть верным. Достаточное — условие, при выполнении которого утверждение X заведомо верно.

Необходимое условие и достаточное условие — виды условий, логически связанных с некоторым суждением. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.

Необходимое условие

Если импликация ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ является абсолютно истинным высказыванием, то истинность высказывания ${\displaystyle B}$ является необходимым условием для истинности высказывания ${\displaystyle A}$^[1][2].

Необходимыми условиями истинности утверждения А называются условия, без соблюдения которых А не может быть истинным.

Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.

Достаточное условие

Если импликация ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ является абсолютно истинным высказыванием, то истинность высказывания ${\displaystyle A}$ является достаточным условием для истинности высказывания ${\displaystyle B}$^[1][2].

Достаточными называются такие условия, при наличии (выполнении, соблюдении) которых утверждение B является истинным.

Суждение P является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) P следует (истинность) X, то есть в случае истинности P проверять X уже не требуется.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется признаком принадлежности классу M.

Необходимое и достаточное условие

Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны, и обозначают ${\displaystyle K\Leftrightarrow X}$ или ${\displaystyle K\leftrightarrow X}$.

Это следует из тождественно истинной формулы, связывающей импликацию и операцию эквиваленции^[3]:

${\displaystyle (X\leftrightarrow Y)\leftrightarrow (X\Rightarrow Y)\land (Y\Rightarrow X)}$

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.

Вышеперечисленные утверждения о необходимом и достаточном условиях можно наглядно продемонстрировать пользуясь таблицей истинности логических выражений.

Рассмотрим случаи, когда импликация истинна. Действительно, если суждение ${\displaystyle B}$ является необходимым условием для суждения ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle B}$ обязано быть истинно для истинности импликации, в то же время, суждение ${\displaystyle A}$ является достаточным условием суждения ${\displaystyle B}$ значит, что если истинно ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle B}$ обязано быть истинным.

Аналогичные рассуждения работают и обратном случае, когда суждение ${\displaystyle A}$ является необходимым условием для суждения ${\displaystyle B}$ и суждение ${\displaystyle B}$ является достаточным условием суждения ${\displaystyle A}$.

Если ${\displaystyle A}$ является необходимым и достаточным условием ${\displaystyle B}$, как видно из таблицы истинности, оба суждения обязаны быть истинны или оба суждения обязаны быть ложными.

Таблица истинности

A	B	${\displaystyle A\Rightarrow B}$	${\displaystyle A\Leftarrow B}$	${\displaystyle A\Leftrightarrow B}$
0	0	1	1	1
0	1	1	0	0
1	0	0	1	0
1	1	1	1	1

Пример

Суждение X: «Вася получает стипендию в данном ВУЗе».
Необходимое условие P: «Вася — учащийся данного ВУЗа».
Достаточное условие Q: «Вася учится в данном ВУЗе без троек».
Следствие R: «Получать стипендию в данном ВУЗе».

Данную формулу можно изобразить в виде условного силлогизма несколькими способами:

1) формулой: (Q → R) ˄ (R → P) → (Q → P) ;

2) официально принятым форматом:

Если Вася учится без троек в данном ВУЗе, то он получает стипендию.
Если Вася получает стипендию, то он — учащийся данного ВУЗа.
— — — — — — — — —
Если Вася учится без троек в данном ВУЗе, то он — учащийся данного ВУЗа.

3) используя обычные речевые рассуждения:

Из того, что Вася — учащийся, ещё не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не учащийся, то он заведомо не получает стипендии.

Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.

Общее правило выглядит следующим образом:
В импликации A → B:
A — это достаточное условие для B, и
B — это необходимое условие для A.

См. также

• Импликация
• Тогда и только тогда

Примечания

1. Эдельман, 1975, с. 30.
2. Гиндикин, 1972, с. 21.
3. Эдельман, 1975, с. 26.

Литература

• Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.

Ссылки

• Видео Архивная копия от 15 апреля 2016 на Wayback Machine о необходимом и достаточном условиях
• «Необходимость и достаточность Архивная копия от 10 октября 2019 на Wayback Machine» в учебнике MathIt