Многочлен Эрара

Многочленом Эрара для заданного многогранника в многомерном пространстве называется многочлен, значение которого в любой целой точке ${\displaystyle t>0}$ совпадает с количеством целых точек пространства (вообще говоря, точек любой решётки), находящихся внутри данного многогранника, увеличенного в ${\displaystyle t}$ раз.

Объём самого многогранника (с коэффициентом гомотетии ${\displaystyle k=1}$) равен старшему коэффициенту многочлена Эрара, что можно рассматривать как вариант многомерного обобщения теоремы Пика.

Названы в честь Эжена Эрара^[англ.], который изучал их в 1960-х годах.

Определение

Пусть ${\displaystyle P}$ — многогранник с целыми вершинами, и ${\displaystyle t\cdot P}$ — его гомотетия с целым коэффициентом ${\displaystyle t}$. Обозначим через ${\displaystyle L_{P}(t)}$ число целых точек в ${\displaystyle t\cdot P}$. Можно доказать, что число ${\displaystyle L_{P}(t)}$ выражается как многочлен от ${\displaystyle t}$; этот многочлен и называется многочленом Эрара.

Примеры

• ${\displaystyle L_{Q}(t)=(t+1)^{d}}$ для единичного целого ${\displaystyle d}$-мерного куба ${\displaystyle Q}$.

Свойства

• (Взаимность Эрара — Макдональда) Число внутренних целых точек в ${\displaystyle t\cdot P}$ равно

  ${\displaystyle (-1)^{d}\cdot L_{P}(-t),}$

где d — размерность P.

• Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )}$, выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрара.^[1]

• Для любого ${\displaystyle d}$-мерного многогранника ${\displaystyle P}$, три коэффициента многочлена Эрара имеют простую интерпретацию
  • свободный член многочлена Эрара равен 1.
  • Главный коэффициент при ${\displaystyle t^{d}}$ равен объёму многогранника.
  • Коэффициент при ${\displaystyle t^{d-1}}$ равен половине суммы отношений площадей граней к определителю решётки, получаемой пересечением целочисленных точек с продолжением грани.
• В частности, при ${\displaystyle d=2}$ многочлен Эрара многоугольника равен

  ${\displaystyle S\cdot t^{2}+{\tfrac {\Gamma }{2}}\cdot t+1,}$

где ${\displaystyle S}$ есть площадь многоугольника, а ${\displaystyle \Gamma }$ — число целочисленных точек на его границе. Подставив ${\displaystyle t=1}$, получаем формулу Пика.

Примечания

1. Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Math. 358, 202-208.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Ehrhart Polynomial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Г. А. Мерзон. Алгебра, геометрия и анализ сумм степеней последовательных чисел // Сборник «Математическое просвещение». Третья серия. — 2017. — Вып. 21. — С. 104—118.