Метод разделения переменных

Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных переменных величин, причем одни из них являются функциями других.

В применении к уравнениям в частных производных схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье. В этом случае метод также называют методом Фурье (в честь Жан-Батиста Фурье, построившего решения уравнения теплопроводности в виде тригонометрических рядов^[1]) и методом стоячих волн^[2][3].

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение, правая часть которого есть произведение функции только от ${\displaystyle x}$ на функцию только от ${\displaystyle y}$ (при этом функция ${\displaystyle y}$ является функцией от ${\displaystyle x}$). ^[4]:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).\qquad (1)}$

При ${\displaystyle h(y)\neq 0}$ это уравнение можно переписать в виде

${\displaystyle {\frac {dy}{h(y)}}=g(x)dx}$.

Пусть ${\displaystyle y(x)}$ — некоторое решение уравнения (1). Из равенства дифференциалов следует, что их неопределённые интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым:

${\displaystyle \int {\frac {dy}{h(y)}}=\int g(x)dx+C}$.

Вычисляя интегралы, получим общий интеграл уравнения (1).

Если уравнение задано в виде^[5]:

${\displaystyle M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0,}$

то для разделения переменных не нужно приводить его к виду (1). Достаточно разделить обе части на ${\displaystyle N(y)P(x)}$:

${\displaystyle {\frac {M(x)dx}{P(x)}}+{\frac {Q(y)dy}{N(y)}}=0,}$

откуда получится общий интеграл

${\displaystyle \int {\frac {M(x)dx}{P(x)}}+\int {\frac {Q(y)dy}{N(y)}}=C.}$

Пример

Пусть

${\displaystyle xdy-ydx=0}$^[6].

Разделяя переменные, получим

${\displaystyle {\frac {dy}{y}}={\frac {dx}{x}}.}$

Интегрируя обе части последнего равенства, будем иметь

${\displaystyle \ln |y|=\ln |x|+\ln C_{1},}$

где ${\displaystyle C_{1}}$ — положительная постоянная. Отсюда

${\displaystyle |y|=C_{1}|x|}$

или

${\displaystyle y=Cx,}$

где ${\displaystyle C=\pm C_{1}}$ — произвольная постоянная, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Решениями данного дифференциального уравнения являются также функции ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle y=0}$. Последнее решение получается из общего решения ${\displaystyle y=Cx}$ при ${\displaystyle C=0}$.

Уравнения в частных производных

Метод разделения переменных применяется для решения краевых задач для линейных уравнений второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов, а также для некоторых классов нелинейных уравнений и уравнений высших порядков ^[7].

Однородное уравнение

Приведем схему метода для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах^[8]:

${\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx},\qquad (2)}$

${\displaystyle u(0,t)=0,\quad u(l,t)=0,\qquad (3)}$

${\displaystyle u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x).\qquad (4)}$

Будем искать тождественно не равные нулю решения уравнения (2), удовлетворяющие краевым условиям (3) в виде произведения

${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).\quad (5)}$

Подставим предполагаемый вид решения в уравнение (2) и поделим на ${\displaystyle a^{2}X(x)T(t)}$:

${\displaystyle {\frac {X''(x)}{X(x)}}={\frac {T''(t)}{a^{2}T(t)}}.\qquad (6)}$

Левая часть равенства (6) является функцией только переменного ${\displaystyle x}$, правая — только ${\displaystyle t}$. Следовательно, обе части не зависят ни от ${\displaystyle x}$, ни от ${\displaystyle t}$ и равны некоторой константе ${\displaystyle -\lambda }$. Получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций ${\displaystyle X(x)}$ и ${\displaystyle T(t)}$:

${\displaystyle X''(x)+\lambda X(x)=0,\quad X(x)\not \equiv 0,\qquad (7)}$

${\displaystyle T''(t)+a^{2}\lambda T(t)=0,\quad T(t)\not \equiv 0,\qquad (8)}$

Подставляя (5) в краевые условия (3), получаем

${\displaystyle X(0)=X(l)=0.\qquad (9)}$

Приходим к задаче Штурма-Лиувилля (7),(9). Эта задача имеет нетривиальные решения (собственные функции)

${\displaystyle X_{n}(x)=\sin {\frac {\pi n}{l}}x,}$

определяемые с точностью до произвольного множителя только при значениях ${\displaystyle \lambda }$, равных собственным значениям

${\displaystyle \lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,2,3,\dots }$

Этим же значениям ${\displaystyle \lambda _{n}}$ соответствуют решения уравнения (8)

${\displaystyle T_{n}(t)=A_{n}\cos {\frac {\pi n}{l}}at+B_{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}at,}$

где ${\displaystyle A_{n}}$ и ${\displaystyle B_{n}}$ — произвольные постоянные.

Таким образом, функции

${\displaystyle u_{n}(x,t)=X_{n}(x)T_{n}(t)}$

являются частными решениями уравнения (2), удовлетворяющими условиям (3). Решение задачи (2)-(4) получается в виде бесконечной суммы частных решений

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos {\frac {\pi n}{l}}at+B_{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}at\right)\sin {\frac {\pi n}{l}}x,}$

где константы ${\displaystyle A_{n}}$ и ${\displaystyle B_{n}}$ могут быть найдены из начальных условий (4) как коэффициенты Фурье функций ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle \psi (x)}$:

${\displaystyle A_{n}={\frac {2}{l}}\int _{0}^{l}\varphi (x)\sin {\frac {\pi n}{l}}xdx,\quad B_{n}={\frac {2}{\pi na}}\int _{0}^{l}\psi (x)\sin {\frac {\pi n}{l}}xdx.}$

Метод разделения переменных также применим к уравнению колебаний струны общего вида

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left[k(x){\frac {\partial u}{\partial x}}\right]-q(x)u=\rho (x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},}$

где ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle \rho }$ — непрерывные положительные на отрезке ${\displaystyle 0<x<l}$ функции^[9]. В этом случае решение строится в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[k(x){\frac {dX}{dx}}\right]-q(x)X+\lambda \rho (x)X=0,\quad X(0)=X(l)=0.\qquad (10)}$

Основополагающие работы по обоснованию метода Фурье принадлежат В. А. Стеклову^[10]. Теорема Стеклова утверждает, что при определенных условиях любая функция единственным образом разлагается в ряд Фурье по собственным функциями краевой задачи (10).

Неоднородное уравнение

Метод разделения переменных для неоднородных уравнений иногда называют методом Крылова в честь А. Н. Крылова^[2]. При решении краевой задачи для уравнения неоднородного уравнения колебаний струны

${\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)\quad (11)}$

функции ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle f}$ разлагаются в ряды Фурье по системе собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для соответствующего однородного уравнения (2):

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }T_{n}(t)\sin {\frac {\pi n}{l}}x,}$

${\displaystyle f(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(t)\sin {\frac {\pi n}{l}}x.}$

Подстановка полученных рядов в уравнение (11) с учетом ортогональности системы ${\displaystyle \left\{\sin {\frac {\pi n}{l}}x\right\}}$ даёт уравнение относительно ${\displaystyle T_{n}(t)}$:

${\displaystyle T''_{n}(t)+a^{2}\lambda _{n}T_{n}(t)=f_{n}(t).\qquad (12)}$

Функции ${\displaystyle T_{n}(t)}$ могут быть найдены как решения задач Коши для уравнений (12) с начальными условиями, полученными из начальных условий исходной краевой задачи.

Программное обеспечение

Xcas:^[11] split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

См. также

• Ряд Фурье
• Задача Штурма — Лиувилля

Примечания

1. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.—Л.: ГОНТИ, 1937. — Т. I. — С. 103.
2. Юрко В. А. Уравнения математической физики, 2004.
3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999, с. 88.
4. Смирнов В. И. Курс высшей математики, 1974, Т. 2, с. 14.
5. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, 1950, с. 24.
6. Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения, 2008, с. 19.
7. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Метод разделения переменных в математической физике, 2009.
8. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999, с. 82.
9. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999, с. 113.
10. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999, с. 119.
11. [Symbolic algebra and Mathematics with Xcas http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf]  (неопр.).

Литература

• Смирнов В. И. Курс высшей математики. — 21-е издание. — Наука, 1974. — Т. 2.
• Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — Изд. 6-е. — 1950.
• Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: учебное пособие. — 3-е изд.. стер.. — СПб.: Лань, 2008. — 288 с.
• Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Метод разделения переменных в математической физике. — СПб., 2009. — 92 с. — ISBN 978–5–94777–211–1.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.
• Юрко В. А. Уравнения математической физики: учеб. пособие для студентов механико-математического и физического факультетов. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. — 118 с. — ISBN 5-292-03022-8.