Матрица Коши (дифференциальные уравнения)

В математике матрицей Коши (также импульсная функция, матрицант) системы дифференциальных уравнений

${\displaystyle x'(t)=A(t)x(t)}$, ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle t\in (t_{1},t_{2})}$,

называется матрица

${\displaystyle C(t,s)=X(t)X(s)^{-1}}$, ${\displaystyle (t;s)\in (t_{1},t_{2})\times (t_{1},t_{2})}$

где ${\displaystyle X(t)}$ — матрицант данной системы (нормировка: ${\displaystyle X(t_{0})=I}$, ${\displaystyle t_{0}\in (t_{1},t_{2})}$).

(Иногда не ${\displaystyle X(t)}$, а саму матрицу Коши называют матрицантом.)

Решение систем неоднородных дифференциальных линейных уравнений

Матрица Коши используется для представления с её помощью решений систем неоднородных дифференциальных линейных уравнений. Любое решение неоднородной системы:

${\displaystyle x'(t)=A(t)x(t)+B(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\quad t\in (t_{1},t_{2}),}$

где ${\displaystyle B(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ — локально суммируемая функция на ${\displaystyle (t_{1},t_{2}),}$ может быть представлено через матрицу Коши однородной системы:

${\displaystyle x'(t)=A(t)x(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\quad t\in (t_{1},t_{2}),}$

в виде:

${\displaystyle x(t)=X(t)x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}C(t,s)B(s)ds,\quad t\in (t_{1},t_{2}).}$

Свойства

• ${\displaystyle C(t,s)}$ непрерывна в ${\displaystyle (t_{1},t_{2})\times (t_{1},t_{2})}$
• Для любых t, s и r принадлежащих интервалу ${\displaystyle (t_{1},t_{2})}$ верны следующие утверждения:
  1. ${\displaystyle C(t,s)=C(t,t_{0})C(s,t_{0})^{-1}}$
  2. ${\displaystyle C(t,s)=C(t,r)C(r,s)}$
  3. ${\displaystyle C(s,t)=C(t,s)^{-1}}$
  4. ${\displaystyle C(t,t)=I}$
  5. Если ${\displaystyle C_{*}(t,s)}$ — матрица сопряжённой системы

     ${\displaystyle x'(t)=-A^{*}(t)x(t)}$, ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$,

     то

     ${\displaystyle C_{*}(t,s)=(C(t,s)^{*})^{-1}}$

  6. ${\displaystyle |C(t,s)|\leqslant e^{\int _{s}^{t}|A(r)|dr},\quad s\leqslant t,}$

     где ${\displaystyle |\cdot |}$ — норма матрицы.

Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

В случае ${\displaystyle A(t)=A=\mathrm {const} }$ матрицант равен

${\displaystyle X(t)=e^{A(t-t_{0})}}$,

где ${\displaystyle e^{As}}$ — матричная экспонента, следовательно, матрица Коши:

${\displaystyle C(t,s)=e^{A(t-s)}}$,

${\displaystyle C(t,s)=X(t-s)}$,

таким образом, в этом случае для получения матрицы Коши достаточно подставить (t - s) в качестве аргумента матрицанта.

Общее решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:

${\displaystyle x(t)=e^{A(t-t_{0})}x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-s)}B(s)ds,\quad t\in (t_{1},t_{2}).}$

Литература

• Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
• А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. — Физматлит, 2005. — ISBN 5-9221-0277-X.