Физули Мамедов был неплохим боксером и 13-летнего сына тоже отвёл в секцию бокса. И боксом Теймур стал заниматься в 2006 году.
На первом своём международном турнире выступил в 2008 году, приняв участие на юношеском чемпионате Европы в Болгарии. На этом турнире Мамедов завоевал золотую медаль. Затем, на юношеском чемпионате мира 2010 года в Баку Мамедов выиграл два первых поединка, но проиграв турецкому боксёру, завершил выступление. Это поражение лишило Мамедова возможности выступить на юношеских Олимпийских играх в Сингапуре[3].
В 2013 году Теймур дошёл до финала чемпионата Европы в Минске, но в решающем поединке уступил россиянину Алексею Егорову. В октябре того же года Теймур завоевал бронзу чемпионата мира в Алма-Ате, уступив в полуфинале будущему чемпиону итальянцу Клементе Руссо.
В 2015 году стал победителем I Европейских игр, победив в финале итальянца Валентино Манфредонию. 29 июня этого же года Теймур Мамедов за высокие достижения на I Европейских играх и большие заслуги в развитии спорта в Азербайджане был награждён орденом «Слава»[6].