Максимальные и минимальные элементы

Элемент ${\displaystyle M}$ частично упорядоченного множества ${\displaystyle A}$ называется максимальным элементом, если

• ${\displaystyle \forall a\in A\;(a\geqslant M\Rightarrow a=M).}$

Аналогично, элемент ${\displaystyle m\in A}$ называется минимальным, если

• ${\displaystyle \forall a\in A\;(a\leqslant m\Rightarrow a=m).}$

Записывается как ${\displaystyle M=\max A}$ (соотв. свойство минимальности записывается как ${\displaystyle m=\min A}$). В случае линейно упорядоченного множества (например, в случае подмножества вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с естественным порядком) понятие максимального (соотв. минимального) элемента совпадает с понятием наибольшего (соотв. наименьшего) элемента, но в общем случае эти понятия различаются: наибольший элемент всегда является максимальным, обратное не всегда верно, так как для максимального элемента могут существовать несравнимые с ним элементы.

Не существует максимального элемента подмножества ${\displaystyle \mathbb {R} }$, если оно не ограничено сверху. Даже если это множество ограничено сверху, максимального элемента также может не существовать (хотя и инфимум, и супремум существуют для любого ограниченного множества). Например, для интервала ${\displaystyle A=\left({a,b}\right)}$ не существует ни минимального, ни максимального элемента.

Литература

• Иванов Г. Е. Лекции по математическому анализу. Часть 1. — М.: МФТИ, 2000. — 359 с. — 800 экз. — ISBN 5-7417-0147-7.

См. также

• Аргументы максимизации и минимизации