Лемма Жордана

Не следует путать с теоремой Жордана.

Лемма Жордана была предложена Жорданом в 1894 году^[1]. Применяется в комплексном анализе совместно с основной теоремой о вычетах при вычислении некоторых интегралов, например, контурных. Имеет три формы^[2].

Формулировка

Полуокружность ${\displaystyle C_{R}=C_{1}}$ (красный цвет) вместе с отрезком ${\displaystyle C_{2}}$ (синий цвет) образуют замкнутый контур. Область G состоит из точек верхней полуплоскости, лежащих вне его.

Пусть функция ${\displaystyle f(z)}$ непрерывна в замкнутой области ${\displaystyle G=\left\{z\mid \mathrm {Im} \,z\geq 0,\left|z\right|\geq R_{0}>0\right\}}$. Обозначим через ${\displaystyle C_{R}}$ полуокружность ${\displaystyle |z|=R,\,\mathrm {Im} \,z\geq 0}$. Пусть также выполнено условие ${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\max _{z\in C_{R}}\left|f(z)\right|=0.}$
Тогда при любом ${\displaystyle a>0}$ имеет место равенство ${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int \limits _{C_{R}}f(z)e^{iaz}\,dz=0.}$

См. также

• Вычет (комплексный анализ)

Примечания

1. Jordan С, Cours d'analyse, t. 2, 2 ed., P., 1894, p. 285-86
2. Математика задачи на интегрирование и дифференцирование. Вычисления несобственного интеграла. Лемма Жордана  (неопр.). Дата обращения: 19 мая 2015. Архивировано из оригинала 20 мая 2015 года.

Ссылки

• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• 1.7.4. Лемма К. Жордана в комплексном пространстве / В. И. Елисеев. Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного.
• ЖОРДАНА ЛЕММА / Е. Д. Соломенцев. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.