Отличился во время Берлинской операции. 20—21 апреля 1945 года во время форсирования реки Мюленфлис стрелковыми подразделениями обеспечил его прикрытие артиллерийским огнём, а затем прикрывал их боевые действия собственно в Берлине. Несмотря на полученное в бою ранение, поле боя не покинул, продолжая выполнять боевую задачу[1].
15 мая1946 года Указом Президиума Верховного Совета СССР за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм» старший лейтенант Алексей Кулак был удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» за номером 7043[1].
В начале 1960 года поступил на службу в Комитет государственной безопасности СССР, был определён в нью-йоркскуюрезидентуру внешней разведки (Первого Главного Управления КГБ СССР), занимался в США агентурной работой по линии научно-технической разведки под агентурным псевдонимом «Федора». В 1962 году добровольно предложил свои услуги ФБР США. Сотрудничал с ним в период с 1962 по 1970 год. За это время он передал американской разведке различные сведения о сотрудниках советской разведки, работающих в Нью-Йорке, а также сведения об интересах КГБ в научно-технической и оборонной сферах. По некоторым данным, за шпионаж в пользу США Кулак получил около 100 тысяч долларов[1][2].
В 1977 году вернулся в Москву и вышел в отставку в звании полковника, продолжил работу в МХТИ им. Д. И. Менделеева в должности начальника научно-исследовательского отдела.
В начале 1980-х годов в КГБ СССР началось секретное расследование по «делу Федоры», но оно не было доведёно до конца[1].
Через год после смерти Кулака, в 1985 году, внешней разведкой КГБ СССР был завербован высокопоставленный американский разведчик Олдрич Эймс, который и сообщил советским органам госбезопасности сведения о шпионской деятельности покойного[1].
17 августа1990 года Указом Президиума Верховного Совета СССР Алексей Кулак был посмертно лишён всех званий и наград, в том числе звания Героя Советского Союза[1]. В 2022 году вандалы написали на могиле Кулака «Указом ВС СССР от 1990 года лишён воинского звания и наград (посмертно) за шпионаж в пользу США с 1962 года» с припиской «Иуда»[3].