Критерий Фридмана

Критерий Фридмана^[1] (англ. Friedman test) — непараметрический статистический тест, разработанный американским экономистом Милтоном Фридманом. Является обобщением критерия Уилкоксона и применяется для сопоставления ${\displaystyle c}$ условий измерения (${\displaystyle c\geqslant 3}$) для ${\displaystyle n}$ объектов (испытуемых) с ранжированием по индивидуальным значениям измерений^[2]. Непараметрический аналог дисперсионного анализа с повторными измерениями ANOVA.

Задача

Дана выборка из ${\displaystyle c}$ измерений для каждого из ${\displaystyle n}$ испытуемых, которую можно представить в виде таблицы^[2][3]:

	Условия
№ объекта	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle c}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle x_{11}}$	${\displaystyle x_{21}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle x_{c1}}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle x_{12}}$	${\displaystyle x_{22}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle x_{c2}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle n}$	${\displaystyle x_{1n}}$	${\displaystyle x_{2n}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle x_{cn}}$

В качестве нулевой гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$ рассматривается следующая: «между полученными в разных условиях измерениями имеются лишь случайные различия»^[2]. Выбирается уровень значимости ${\displaystyle \alpha }$, например, ${\displaystyle \alpha =0,01}$ (вероятность ошибочно отклонить нулевую гипотезу).

Проверка гипотезы

Для начала получим таблицу рангов по строкам, при котором получаем ранги ${\displaystyle r_{ij}}$ объекта ${\displaystyle x_{ij}}$ при ранжировке ${\displaystyle x_{1j},x_{2j},\dots ,x_{cj}}$^[3]:

	Ранги
№ объекта	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle c}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle r_{11}}$	${\displaystyle r_{21}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle r_{c1}}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle r_{12}}$	${\displaystyle r_{22}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle r_{c2}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle n}$	${\displaystyle r_{1n}}$	${\displaystyle r_{2n}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle r_{cn}}$

Получим суммы рангов и введём другие обозначения:

${\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}}$

${\displaystyle {\bar {R}}_{i}={\frac {R_{i}}{n}}}$

${\displaystyle {\bar {\bar {R}}}={\frac {c+1}{2}}}$

Для проверки гипотезы будем использовать эмпирическое значение критерия — статистику:

${\displaystyle S={\frac {12n}{c(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}({\bar {R}}_{i}-{\bar {\bar {R}}})^{2}}$,

которую можно записать также в виде:

${\displaystyle S={\frac {12}{nc(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}R_{i}^{2}-3n(c+1)}$

Нулевая гипотеза принимается, если критическое значение критерия превосходит эмпирическое:

${\displaystyle S<S_{\alpha }(n,c)}$

Для малых значений ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle c}$ для критического значения Фридмана существуют таблицы для разных значений уровня значимости ${\displaystyle \alpha }$ (или доверительной вероятности^[3] ${\displaystyle 1-\alpha }$).

При ${\displaystyle n\geqslant 13}$ и ${\displaystyle c\geqslant 20}$ применима аппроксимация — ${\displaystyle \alpha }$-квантиль распределения хи-квадрат с ${\displaystyle c-1}$ степенями свободы^[3]:

${\displaystyle S_{\alpha }(n,c)\approx \chi _{\alpha }^{2}(c-1)}$

Для некоторых малых значений статистику можно преобразовать для аппроксимации ${\displaystyle \alpha }$-квантилью распределения Фишера или применить статистику Имана-Давенпорта^[3].

Примеры

Классические примеры применения:

• ${\displaystyle n}$ дегустаторов оценивают различные сорта вин. Имеют ли вина значимые отличия?
• Сварные швы, сделанные ${\displaystyle n}$ сварщиками с использованием ${\displaystyle c}$ сварочных горелок, были оценены по качеству. Есть ли отличия в качестве у какой-либо из горелок?

Апостериорный анализ

Апостериорный анализ (англ. post-hoc analysis) был предложен Шайхом и Хамерли (1984)^[4], а также Коновер (1971, 1980)^[5] для определения того, какие условия существенно отличаются друг от друга, на основании различия их средних рангов^[6].

Программная реализация

Тест Фридмана содержится во многих пакетах программ для статистической обработки данных (SPSS, R^[7] и других^[8]).

Не все статистические пакеты поддерживают апостериорный анализ для теста Фридмана, но программный код можно найти, например, для SPSS^[9] и R^[10].

Примечания

1. Кобзарь А. И. («Прикладная математическая статистика») называет этот критерий критерием Фридмена-Кендалла-Бэбингтона Смита
2. Афанасьев, Сивов, 2010.
3. Кобзарь, 2006.
4. Schaich, E. & Hamerle, A. (1984). Verteilungsfreie statistische Prüfverfahren. Berlin: Springer. ISBN 3-540-13776-9.
5. Conover, W. J. (1971, 1980). Practical nonparametric statistics. New York: Wiley. ISBN 0-471-16851-3.
6. Bortz, J., Lienert, G. & Boehnke, K. (2000). Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. Berlin: Springer. ISBN 3-540-67590-6.
7. Friedman Rank Sum Test  (неопр.). Дата обращения: 22 ноября 2012. Архивировано 9 января 2019 года.
8. Friedman's test  (неопр.). Дата обращения: 22 ноября 2012. Архивировано 29 июля 2014 года.
9. Post-hoc comparisons for Friedman test  (неопр.). Дата обращения: 10 ноября 2012. Архивировано из оригинала 3 ноября 2012 года.
10. Post hoc analysis for Friedman’s Test (R code)  (неопр.). Дата обращения: 10 ноября 2012. Архивировано 13 ноября 2012 года.

Литература

• Афанасьев В. В., Сивов М. А. Математическая статистика в педагогике. — Ярославль: Издательство ЯГПУ, 2010. — С. 63-65. — 76 с. — ISBN 978-5-87555-366-0.
• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. — М.: Физматлит, 2006. — С. 484-486. — 816 с. — ISBN 5-9221-0707-0.
• Myles Hollander, Douglas A. Wolfe. Nonparametric Statistical Methods. — New York: John Wiley & Sons, 1973. — 503 с. — P. 139–146. — ISBN 9780471406358.
• Friedman, Milton. The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance (англ.) // Journal of the American Statistical Association : journal. — American Statistical Association, 1937. — December (vol. 32, no. 200). — P. 675—701. — doi:10.2307/2279372. — JSTOR 2279372.
• Friedman, Milton. A correction: The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance (англ.) // Journal of the American Statistical Association : journal. — American Statistical Association, 1939. — March (vol. 34, no. 205). — P. 109. — doi:10.2307/2279169. — JSTOR 2279169.
• Friedman, Milton. A comparison of alternative tests of significance for the problem of m rankings (англ.) // The Annals of Mathematical Statistics^[англ.] : journal. — 1940. — March (vol. 11, no. 1). — P. 86—92. — doi:10.1214/aoms/1177731944. — JSTOR 2235971.