Коэффициент упругости

Коэффицие́нт упру́гости, иногда также коэффицие́нт Гу́ка, жёсткость пружи́ны, — коэффициент, связывающий в законе Гука удлинение упругого тела и возникающую вследствие этого удлинения силу упругости. Применяется в механике твердого тела в разделе упругости. Обозначается буквой k^[1], иногда D^[2] или c^[3]. Имеет единицу измерения Н/м или кг/с² (в СИ), дин/см или г/с² (в СГС).

Коэффициент упругости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы её длина изменилась на единицу расстояния.

Определение и свойства

Коэффициент упругости по определению равен силе упругости, делённой на изменение длины пружины:

${\displaystyle k=F_{\mathrm {e} }/\Delta l.}$^[4]

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров упругого тела. Так, для упругого стержня можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения ${\displaystyle S}$ и длины ${\displaystyle L}$), записав коэффициент упругости как ${\displaystyle k=E\cdot S/L.}$ Величина ${\displaystyle E}$ называется модулем Юнга и, в отличие от коэффициента упругости, зависит только от свойств материала стержня^[5].

Жёсткость деформируемых тел при их соединении

Параллельное соединение пружин.

Последовательное соединение пружин.

При соединении нескольких упруго деформируемых тел (далее для краткости — пружин) общая жёсткость системы будет меняться. При параллельном соединении жёсткость увеличивается, при последовательном — уменьшается.

Параллельное соединение

При параллельном соединении ${\displaystyle n}$ пружин с жёсткостями, равными ${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{n},}$ жёсткость системы равна сумме жёсткостей, то есть ${\displaystyle k=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\ldots +k_{n}.}$

Доказательство

В параллельном соединении имеется ${\displaystyle n}$ пружин с жёсткостями ${\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{n}.}$ Из III закона Ньютона, ${\displaystyle F=F_{1}+F_{2}+\ldots +F_{n}.}$ (К ним прикладывается сила ${\displaystyle F}$. При этом к пружине 1 прикладывается сила ${\displaystyle F_{1},}$ к пружине 2 сила ${\displaystyle F_{2},}$ … , к пружине ${\displaystyle n}$ сила ${\displaystyle F_{n}.}$)

Теперь из закона Гука (${\displaystyle F=-kx}$, где x - удлинение) выведем: ${\displaystyle F=kx;F_{1}=k_{1}x;F_{2}=k_{2}x;...;F_{n}=k_{n}x.}$ Подставим эти выражения в равенство (1): ${\displaystyle kx=k_{1}x+k_{2}x+\ldots +k_{n}x;}$ сократив на ${\displaystyle x,}$ получим: ${\displaystyle k=k_{1}+k_{2}+\ldots +k_{n},}$ что и требовалось доказать.

Последовательное соединение

При последовательном соединении ${\displaystyle n}$ пружин с жёсткостями, равными ${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{n},}$ общая жёсткость определяется из уравнения: ${\displaystyle 1/k=(1/k_{1}+1/k_{2}+1/k_{3}+\ldots +1/k_{n}).}$

Доказательство

В последовательном соединении имеется ${\displaystyle n}$ пружин с жёсткостями ${\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{n}.}$ Из закона Гука (${\displaystyle F=-kl}$, где ${\displaystyle l}$ — удлинение) следует, что ${\displaystyle F=k\cdot l.}$ Сумма удлинений каждой пружины равна общему удлинению всего соединения ${\displaystyle l_{1}+l_{2}+\ldots +l_{n}=l.}$

На каждую пружину действует одна и та же сила ${\displaystyle F.}$ Согласно закону Гука, ${\displaystyle F=l_{1}\cdot k_{1}=l_{2}\cdot k_{2}=\ldots =l_{n}\cdot k_{n}.}$ Из предыдущих выражений выведем: ${\displaystyle l=F/k,\quad l_{1}=F/k_{1},\quad l_{2}=F/k_{2},\quad ...,\quad l_{n}=F/k_{n}.}$ Подставив эти выражения в (2) и разделив на ${\displaystyle F,}$ получаем ${\displaystyle 1/k=1/k_{1}+1/k_{2}+\ldots +1/k_{n},}$ что и требовалось доказать.

Жёсткость некоторых деформируемых тел

Стержень постоянного сечения

Однородный стержень постоянного сечения, упруго деформируемый вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

${\displaystyle k={\frac {E\,S}{L_{0}}},}$

где

Е — модуль Юнга, зависящий только от материала, из которого выполнен стержень;

S — площадь поперечного сечения;

L₀ — длина стержня.

Цилиндрическая витая пружина

Витая цилиндрическая пружина сжатия.

Витая цилиндрическая пружина сжатия или растяжения, намотанная из цилиндрической проволоки и упруго деформируемая вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

${\displaystyle k={\frac {G\cdot d_{\mathrm {D} }^{4}}{8\cdot d_{\mathrm {F} }^{3}\cdot n}},}$

где

d_D — диаметр проволоки;

d_F — диаметр намотки (измеряемый от оси проволоки);

n — число витков;

G — модуль сдвига (для обычной стали G ≈ 80 ГПа, для пружинной стали G ≈ 78.5 ГПа, для меди ~ 45 ГПа).

См. также

• Закон Гука
• Сила упругости
• Роберт Гук
• Модуль Юнга
• Пружина

Источники и примечания

1. Упругая деформация  (рус.). Архивировано 30 июня 2012 года.
2. Dieter Meschede, Christian Gerthsen. Physik. — Springer, 2004. — P. 181 в «Книгах Google».
3. Bruno Assmann. Technische Mechanik: Kinematik und Kinetik. — Oldenbourg, 2004. — P. 11 в «Книгах Google».
4. Динамика, Сила упругости  (рус.). Дата обращения: 22 мая 2012. Архивировано из оригинала 13 октября 2012 года.
5. Механические свойства тел  (рус.). Дата обращения: 22 мая 2012. Архивировано 15 февраля 2013 года.