Конхоидное преобразование

Обзорная статья: Конхоида

Конхоидное преобразование

Конхо́идное преобразова́ние (англ. conchoidal transform, от др.-греч. κονχοειδής — похожий на раковину) — точечное преобразование плоскости, переводящее точку в конхоиду — точку, радиус-вектор которой увеличен или уменьшен на постоянную величину относительно радиус-вектора исходной точки^[1].

Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос с фиксированным направлением.

При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено.

Уравнения конхоидного преобразования

Если координаты исходной точки в полярной системе координат ${\displaystyle (r,\,\varphi ),\,}$ то координаты преобразованной ${\displaystyle (r+l,\,\varphi ),\,}$ то есть уравнение конхоидного преобразования имеет следующий вид (см. рисунок справа вверху в начале статьи)^[1][2]:

${\displaystyle r'=r+l,\,}$ ${\displaystyle \varphi '=\varphi .}$

Начало радиус-вектора называется полюсом конхоиды (в данном случае это начало координат ${\displaystyle (0,\,0)\,}$), а постоянная величина приращения радим-вектора ${\displaystyle l\,}$ — модулем конхоиды^[2]. Направление радиус-вектора называется направлением конхоиды.

Конхоидные преобразования ${\displaystyle r'=r+l}$ с фиксированным полюсом и направлением образуют:

• точки вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с координатами ${\displaystyle l}$;
• абелеву группу, изоморфную группе параллельных переносов ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то есть группе сложения вещественных чисел, поскольку выполняются два свойства этого преобразования^[3]:

• композиция двух конхоидных преобразований есть конхоидное преобразование:

${\displaystyle r''\circ r'=(r+l'')\circ (r+l')=(r+l')+l''=}$

${\displaystyle =r+(l'+l'')=r+l''';}$

• преобразование, обратное конхоидному преобразованию ${\displaystyle r=r+l}$, есть конхоидное преобразование ${\displaystyle r^{-1}=r-l}$:

${\displaystyle (r-l)\circ (r+l)=(r+l)-l=r.}$

Конхоидные преобразования ${\displaystyle r'=r+l}$ только с фиксированным полюсом образуют точки проективно-вещественной плоскости ${\displaystyle \mathbb {P} \times \mathbb {R} }$ с координатами ${\displaystyle ((r\cos \varphi ,\,r\sin \varphi );\,l)}$ и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования с фиксированными полюсом и разными направлениями не образуют композиции.

На комплексной плоскости уравнение конхоидного преобразования с полюсом в начале координат имеет следующий вид (см. рисунок справа вверху)^[1]:

${\displaystyle z'=z+l{\sqrt {\frac {z}{\bar {z}}}}=z+l{\frac {z}{|z|}}=z+le^{i\varphi },}$

где ${\displaystyle e^{i\varphi }}$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса ${\displaystyle (0,\,0)\,}$ к произвольной точке плоскости ${\displaystyle z=x+iy;\,}$ ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x}{|z|}};\,}$ ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y}{|z|}}.}$

Обычное уравнение конхоидного преобразования с полюсом в начале координат произвольной точки декартовой плоскости имеет следующий вид:

${\displaystyle a'=a+l{\frac {a}{|a|}}=a+le,}$

где ${\displaystyle e\,}$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке пространства ${\displaystyle a}$ (см. рисунок справа вверху).

На декартовой плоскости конхоидное преобразование с полюсом в начале координат имеет следующий параметрический вид как декартовых координат конхоиды ${\displaystyle r'=r+l}$ (см. рисунок справа вверху)^[4][5]:

${\displaystyle x=x(t)\left(1+{\frac {l}{\sqrt {x^{2}(t)+y^{2}(t)}}}\right),}$

${\displaystyle y=y(t)\left(1+{\frac {l}{\sqrt {x^{2}(t)+y^{2}(t)}}}\right),}$

а с произвольным полюсом ${\displaystyle (x_{0},\,y_{0})}$ — более сложный параметрический вид^[5]:

${\displaystyle x=x(t)+\left({\frac {l(x(t)-x_{0})}{\sqrt {(x(t)-x_{0})^{2}+(y(t)-y_{0})^{2}}}}\right),}$

${\displaystyle y=y(t)+\left({\frac {l(y(t)-y_{0})}{\sqrt {(x(t)-x_{0})^{2}+(y(t)-y_{0})^{2}}}}\right),}$

Конхоидное преобразование кривых

Конхоидное преобразование используется для образования новых плоских кривых — конхоид из исходных — директрис^[6], или базисов^[7]. В этом случае его уравнение могут записать в виде

${\displaystyle r(\varphi )=f(\varphi )\pm l,\,}$ ${\displaystyle l>0,}$

где ${\displaystyle r(\varphi )=f(\varphi )}$ — уравнение директрисы. и говорить о ${\displaystyle 2m}$ ветвях конхоиды, которые соответствуют прибавлению и вычитанию положительной константы ${\displaystyle l}$ к координатам ${\displaystyle f(\varphi ),\,}$ соответствующим ${\displaystyle m}$ точкам — максимальному количеству точек пересечения директрисы с произвольной прямой ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}}$. Обычно рассматривают случаи с ${\displaystyle m=1}$^{[1][2][8][4][5]}.

Например, конхоида Никомеда как конхоида прямой и улитка Паскаля как конхоида окружности с полюсом на окружности относятся к случаю ${\displaystyle m=1,\,}$ а конхоида конхоиды — вторая конхоида — и конхоида окружности, когда полюс не лежит на окружности — к случаю ${\displaystyle m=2.}$

При ${\displaystyle l=0}$ конхоида совпадает со своей директрисой, а при ${\displaystyle l\to \infty }$ — с бесконечно удалёнными точками на окружности бесконечного радиуса.

При ${\displaystyle f(\varphi _{0})=0}$ угол ${\displaystyle \varphi _{0}}$ выбирается по непрерывности конхоиды.

Конхоиды ${\displaystyle r=f+l}$ с фиксированным полюсом, аналогично точечным конхоидным преобразованиям, образуют (если ветвей несколько, то берётся нужная):

• точки вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с координатами ${\displaystyle l}$;
• коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то есть группе сложения вещественных чисел, поскольку выполняются два свойства этого преобразования^[3]:

Когда обе ветви конхоиды совпадают, то есть совпадают кривые

${\displaystyle r(\varphi )=f(\varphi )+l,\,}$ ${\displaystyle r(\varphi )=f(\varphi )-l,\,}$ ${\displaystyle l>0,}$

директриса ${\displaystyle f(\varphi )}$ называется минимальной конхоидой, поскольку любая конхоида с этой первоначальной директрисой не может быть «меньше» минимальной конхоиды: для любой первой конхоиды минимальной директрисы

${\displaystyle r(\varphi )=f(\varphi )\pm l,\,}$ ${\displaystyle l>0}$

две из четырёх ветвей второй конхоиды (с первой конхоидой как директрисой)

${\displaystyle r(\varphi )=(f(\varphi )\pm l)\mp 2l,\,}$ ${\displaystyle l>0}$

совпадают друг с другом и с исходной первой конхоидой.

Например, минимальная конхоида — базовая окружность улитки Паскаля.

Общее конхоидное преобразование

Общее конхоидное преобразование

В общем случае полюс конхоидного преобразования может быть произвольным, то есть уравнение конхоидного преобразования на комплексной плоскости имеет следующий вид (см. рисунок справа):

${\displaystyle z'=z+l{\sqrt {\frac {z-z_{0}}{\overline {z-z_{0}}}}}=}$

${\displaystyle =z+l{\frac {z-z_{0}}{|z-z_{0}|}}=}$

${\displaystyle =z+le^{i\varphi },}$

где ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}\,}$ — полюс; ${\displaystyle l\,}$ — модуль; ${\displaystyle e^{i\varphi }\,}$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке плоскости ${\displaystyle z=x+iy;\,}$ ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x-x_{0}}{|z-z_{0}|}};\,}$ ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y-y_{0}}{|z-z_{0}|}}.}$

Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос.

При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено.

Два конхоидных преобразования ${\displaystyle z'=z+le^{i\varphi }\,}$ и ${\displaystyle z''=z'+l'e^{i\varphi '},\,}$ действующие на одной прямой, эквивалентны на прямой, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

${\displaystyle l=l',\,}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }=e^{i\varphi '},\,}$ ${\displaystyle z,\,z',\,z''}$ коллинеарны.

Конхоидные преобразования ${\displaystyle z'=z+le^{i\varphi }}$, действующие на одной прямой, с точностью до эквивалентных преобразований образуют:

• точки вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с координатами ${\displaystyle l}$;
• абелеву группу, изоморфную группе параллельных переносов ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то есть группе сложения вещественных чисел.

Два произвольных конхоидных преобразования ${\displaystyle z'=z+le^{i\varphi }\,}$ и ${\displaystyle z''=z'+l'e^{i\varphi '}\,}$ эквивалентны, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

${\displaystyle l=l',\,}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }=e^{i\varphi '}.}$

Конхоидные преобразования ${\displaystyle z'=z+le^{i\varphi }}$ одинакового направления с точностью до эквивалентных преобразований образуют точки вещественной плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ с координатами ${\displaystyle (x+y,\,l)}$ и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования одного направления, не лежащие на одной прямой, не образуют композиции.

Конхоидное преобразование имеет обратное преобразование ${\displaystyle z^{-1}=z-le^{i\varphi }:}$

${\displaystyle z-le^{i\varphi }\circ z+le^{i\varphi }=z+le^{i\varphi }-le^{i\varphi }=z,\,}$

а также композиция двух конхоидных преобразований есть снова конхоидное преобразование, так как сумма комплексных чисел есть снова комплексное число:

${\displaystyle z''\circ z'=z'+l'e^{i\varphi '}\circ z+le^{i\varphi }=z+le^{i\varphi }+l'e^{i\varphi '}=}$

${\displaystyle =z+l''e^{i\varphi ''}=z+l''{\frac {z-z''_{0}}{|z-z''_{0}|}},}$

другими словами, конхоидные преобразования ${\displaystyle z'=z+le^{i\varphi }}$ с точностью до эквивалентных преобразований образуют коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, то есть группе сложения радиус-векторов плоскости, поскольку выполняются эти два групповые свойства^[3].

Вычисление полюса и модуля композиции двух конхоидных преобразований

Композиция двух конхоидных преобразований

Пусть заданы два конхоидных преобразования своими полюсами соответственно ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}\,}$ и ${\displaystyle z_{0}'=x_{0}'+iy_{0}'\,}$ и модулями соответственно ${\displaystyle l\,}$ и ${\displaystyle l',\,}$ а также задана исходная произвольная точка плоскости ${\displaystyle z=x+iy\,}$ (см. рисунок справа). Тогда первая конхоида ${\displaystyle z'}$ исходной точки ${\displaystyle z}$ равна

${\displaystyle z'=z+le^{i\varphi },\,}$ ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x-x_{0}}{|z-z_{0}|}};\,}$ ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y-y_{0}}{|z-z_{0}|}},\,}$

а конхоида ${\displaystyle z''}$ первой конхоиды ${\displaystyle z'}$ (вторая конхоида исходной точки) равна

${\displaystyle z''=z'+l'e^{i\varphi '},\,}$ ${\displaystyle \cos \varphi '={\frac {x'-x_{0}'}{|z'-z_{0}'|}};\,}$ ${\displaystyle \sin \varphi '={\frac {y'-y_{0}'}{|z'-z_{0}'|}}.}$

Из композиции двух конхоидных преобразования

${\displaystyle z'\circ z=z+le^{i\varphi }+l'e^{i\varphi '}=z+l''e^{i\varphi ''},\,}$

${\displaystyle \cos \varphi ''={\frac {x-x_{0}''}{|z-z_{0}''|}};\,}$ ${\displaystyle \sin \varphi ''={\frac {y-y_{0}''}{|z-z_{0}''|}},\,}$

получаем два уравнения

${\displaystyle l''\cos \varphi ''=l\cos \varphi +l'\cos \varphi ',\,}$

${\displaystyle l''\sin \varphi ''=l\sin \varphi +l'\sin \varphi ',\,}$

из которых вычисляем модуль ${\displaystyle l''}$ композиции (см. рисунок справа вверху)

${\displaystyle l''^{2}=(l\cos \varphi +l'\cos \varphi ')^{2}+(l\sin \varphi +l'\sin \varphi ')^{2}=}$

${\displaystyle =l^{2}+l'^{2}+2ll'(\cos \varphi \cos \varphi '+\sin \varphi \sin \varphi ')=}$

${\displaystyle =l^{2}+l'^{2}+2ll'\cos(\varphi '-\varphi ),}$

где ${\displaystyle \pi -(\varphi '-\varphi )}$ — угол при вершине ${\displaystyle z'}$ треугольника ${\displaystyle zz'z''}$ (получили теорему косинусов).

Для вычисления полюса ${\displaystyle z_{0}''=x_{0}''+iy_{0}''}$ одного из преобразований, эквивалентного композиции, предположим, что

${\displaystyle z''-z=z-z_{0}'',\,}$

откуда (см. рисунок справа вверху)

${\displaystyle z_{0}''=2z-z''.}$

Конхоидное преобразование в многомерном пространстве

Уравнение общего конхоидного преобразования произвольной точки ${\displaystyle n}$-мерного декартового пространства имеет следующий вид:

${\displaystyle a'=a+l{\frac {a-a_{0}}{|a-a_{0}|}}=a+le,}$

где ${\displaystyle a_{0}=(a_{01},\,a_{02},\,\dots ,\,a_{0n})\,}$ — полюс; ${\displaystyle l\,}$ — модуль; ${\displaystyle e=(e_{1},\,e_{2},\,\dots ,\,e_{n})\,}$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке пространства ${\displaystyle a=(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n}).}$

Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос.

При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено.

Два конхоидных преобразования ${\displaystyle a'=a+le}$ и ${\displaystyle a''=a'+l'e,}$ действующие на одной прямой, эквивалентны на прямой, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

${\displaystyle l=l',\,}$ ${\displaystyle e=e',\,}$ ${\displaystyle a,\,a',\,a''}$ коллинеарны.

Конхоидные преобразования ${\displaystyle a'=a+le}$, действующие на одной прямой, с точностью до эквивалентных преобразований образуют:

• точки вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с координатами ${\displaystyle l}$;
• абелеву группу, изоморфную группе параллельных переносов ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то есть группе сложения вещественных чисел.

Два конхоидных преобразования ${\displaystyle a'=a+le\,}$ и ${\displaystyle a''=a'+le'\,}$ эквивалентны, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

${\displaystyle l=l',\,}$ ${\displaystyle e=e'.}$

Конхоидные преобразования ${\displaystyle a'=a+le}$ одинакового направления с точностью до эквивалентных преобразований образуют точки ${\displaystyle n}$-мерного вещественного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с координатами

${\displaystyle (a_{1}+a_{2},\,a_{2}+a_{3},\,\dots ,\,a_{n-1}+a_{n},\,l)}$

и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования одного направления, не лежащие на одной прямой, не образуют композиции.

Конхоидное преобразование имеет обратное преобразование ${\displaystyle a^{-1}=a-le:}$

${\displaystyle a-le\circ z+le=a+le-le=a,\,}$

а также композиция двух конхоидных преобразований есть снова конхоидное преобразование, так как сумма радиус-векторов есть снова радиус-вектор:

${\displaystyle a'''=a''\circ a'=a'+l'e'\circ a+le=a+le+l'e'=}$

${\displaystyle =a+l''e''=a+l''{\frac {a-a''_{0}}{|a-a''_{0}|}},}$

другими словами, конхоидное преобразование ${\displaystyle a'=a+le}$ с точностью до эквивалентных преобразований образует коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, то есть группе сложения радиус-векторов пространства, поскольку выполняются эти два групповые свойства^[3].

Вычисление полюса и модуля композиции двух конхоидных преобразований

Композиция двух конхоидных преобразований в трёхмерном пространстве. Показаны плоскость композиции и пирамида трёх модулей и начала координат

Пусть заданы два конхоидных преобразования своими полюсами соответственно ${\displaystyle a_{0}=(a_{01},\,a_{02},\,\dots ,\,a_{0n})\,}$ и ${\displaystyle a_{0}'=(a_{01}',\,a_{02}',\,\dots ,\,a_{0n}')\,}$ и модулями соответственно ${\displaystyle l\,}$ и ${\displaystyle l',\,}$ а также задана исходная произвольная точка плоскости ${\displaystyle a=(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})\,}$ (см. рисунок справа для трёхмерного пространства). Тогда первая конхоида ${\displaystyle a'}$ исходной точки ${\displaystyle a}$ равна

${\displaystyle a'=a+le,\,}$ ${\displaystyle e={\frac {a-a_{0}}{|a-a_{0}|}},}$

а конхоида ${\displaystyle a''}$ первой конхоиды ${\displaystyle a'}$ (вторая конхоида исходной точки) равна

${\displaystyle a''=a'+l'e',\,}$ ${\displaystyle e'={\frac {a'-a_{0}'}{|a'-a_{0}'|}}.}$

Из композиции двух конхоидных преобразования

${\displaystyle a'''=a''\circ a'=a+le+l'e'=a+l''e'',\,}$ ${\displaystyle e''={\frac {a''-a_{0}''}{|a''-a_{0}''|}}}$

получаем ${\displaystyle n}$ уравнений, ${\displaystyle i=1,\,2,\,\dots ,n:}$

${\displaystyle l''e''_{i}=le_{i}+l'e'_{i},}$

из которых вычисляем модуль ${\displaystyle l''}$ композиции (см. рисунок справа вверху для трёхмерного пространства)

${\displaystyle l''^{2}=\sum _{i=1}^{n}(le_{i}+l'e'_{i})^{2}=}$

${\displaystyle =l^{2}+l'^{2}+2ll'\sum _{i=1}^{n}(e_{i}\cdot e'_{i})=}$

${\displaystyle =l^{2}+l'^{2}+2ll'\cos \angle (e,\,e'),}$

${\displaystyle =l^{2}+l'^{2}-2ll'\cos \angle aa'\!a'',}$

где ${\displaystyle \angle aa'\!a''=\pi -\angle (e,\,e')}$ (получили теорему косинусов).

Для вычисления полюса ${\displaystyle a_{0}''=(a_{01}'',\,a_{02}'',\,\dots ,\,a_{0n}'')\,}$ одного из преобразований, эквивалентного композиции, предположим, что

${\displaystyle a''-a=a-a_{0}'',}$

откуда (см. рисунок справа вверху для трёхмерного пространства)

${\displaystyle a_{0}''=2a-a''.}$

На рисунке видно, что Исходная точка и обе её конхоиды лежат в одной плоскости композиции.

Примечания

1. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, XI. Pedals and other derived curves. 3. Limacon, conchoid, с. 154; 287.
2. Ferréol Robert. Conchoid, 2017.
3. Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 157. Группы преобразований, с. 409.
4. jan wassenaar conchoid, 2013.
5. Weisstein Eric W. Conchoid, 2024.
6. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, XI. Pedals and other derived curves. 3. Limacon, conchoid, с. 154.
7. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 1. Конхоида Никомеда, с. 104.
8. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 1. Конхоида Никомеда, с. 100.

Источники

• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 584 с. ISBN 5-9221-0267-2.
• Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. 293 с., ил.
• Ferréol Robert. Conchoid // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 6 марта 2023 на Wayback Machine
• jan wassenaar conchoid // mathematical curves Архивная копия от 4 октября 2023 на Wayback Machine
• Weisstein Eric W. Conchoid // Wolfram MathWorld Архивная копия от 25 декабря 2023 на Wayback Machine
• Zwikker C.^[англ.] The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications^[англ.]The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 0486610780. ISBN 9780486610788.