Константа Шешадри

Константа Шешадри — это инвариант обильного линейного расслоения L в точке P на алгебраическом многообразии. Константу ввёл Жан-Пьер Демайи для измерения некоторой скорости роста тензорных степеней расслоения L в терминах струй секций^[англ.] расслоения L^k. Объект являлся предметом рассмотрения в гипотезе Фудзиты^[англ.].

Константа названа в честь индийского математика К. С. Шешадри.

Известно, что гипотеза Нагаты об алгебраических кривых эквивалентна утверждению, что для более чем девяти точек в общем положении константы Шешадри проективной плоскости максимальны. Имеется общая гипотеза для алгебраических поверхностей, гипотеза Нагаты — Бирана^[англ.].

Утверждение

Пусть ${\displaystyle {X}}$ — гладкое проективное многообразие, ${\displaystyle {L}}$ — обильное линейное расслоение на нём, ${\displaystyle {x}}$ — точка на ${\displaystyle {X}}$, ${\displaystyle {{\mathcal {C}}_{x}}}$ = {все приводимые кривые, проходящие через точку ${\displaystyle {x}}$ }.

${\displaystyle {\epsilon (L,x):={\underset {C\in {\mathcal {C}}_{x}}{\inf }}{\frac {L\cdot C}{mult_{x}(C)}}}}$.

Здесь, ${\displaystyle {L\cdot C}}$ обозначает индекс пересечения расслоения ${\displaystyle {L}}$ и ${\displaystyle {C}}$, ${\displaystyle {mult_{x}(C)}}$ отражает, сколько раз ${\displaystyle {C}}$ проходит через точку ${\displaystyle {x}}$.

Определение. Говорят, что ${\displaystyle {\epsilon (L,x)}}$ является константой Шешадри расслоения ${\displaystyle {L}}$ в точке ${\displaystyle {x}}$.

• Комментарии к определению. Легко видеть, что ${\displaystyle {\epsilon (L,x)}}$ является вещественным числом.

Фактически, если ${\displaystyle {X}}$ является абелевым многообразием, можно показать, что ${\displaystyle {\epsilon (L,x)}}$ не зависит от выбора точки. Таким образом, в данной ситуации можно опустить точку x и записать просто ${\displaystyle {\epsilon (L)}}$.

Примечания

Литература

• Robert Lazarsfeld. Positivity in Algebraic Geometry I - Classical Setting: Line Bundles and Linear Series. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004. — С. 269–270.
• Thomas Bauer, Felix Fritz Grimm, Maximalian Schmidt. On the Ingegrality of Seshadri Constants of Abelian Surfaces. — arXiv:1805.05413.