Конечное расширение

Коне́чное расшире́ние — расширение поля ${\displaystyle E\supset K}$, такое, что ${\displaystyle E}$ конечномерно над ${\displaystyle K}$ как векторное пространство. Размерность векторного пространства ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle K}$ называется степенью расширения и обозначается ${\displaystyle [E:K]}$.

Свойства конечных расширений

Конечное расширение всегда алгебраично. В самом деле пусть ${\displaystyle [E:K]=n}$, так как для любого элемента ${\displaystyle \alpha \in E}$ набор из ${\displaystyle n+1}$ элементов ${\displaystyle 1,\alpha ,\alpha ^{2},...\alpha ^{n}}$ не может быть линейно независимым, значит существует многочлен над ${\displaystyle K}$ степени не выше ${\displaystyle n}$, такой, что ${\displaystyle \alpha }$ является его корнем.

Простое алгебраическое расширение ${\displaystyle E=K(\alpha )}$ является конечным. Если неприводимый многочлен ${\displaystyle \alpha }$ над ${\displaystyle K}$ имеет степень ${\displaystyle n}$, то ${\displaystyle [E:K]=n}$.

В башне полей ${\displaystyle F\supset E\supset K}$, поле ${\displaystyle F}$ конечно над ${\displaystyle K}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle F}$ конечно над ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle E}$ конечно над ${\displaystyle K}$. Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если ${\displaystyle e_{1},...e_{n}}$ — базис ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle f_{1},...f_{m}}$ — базис ${\displaystyle F}$ над ${\displaystyle E}$ то ${\displaystyle f_{1}e_{1},f_{1}e_{2},...f_{1}e_{n},f_{2}e_{1},...f_{m}e_{1},...f_{m}e_{n}}$ — базис ${\displaystyle F}$ над ${\displaystyle K}$, отсюда ${\displaystyle [F:E][E:K]=[F:K]}$.

Конечное расширение E является конечно порождённым. В качестве порождающих элементов можно взять элементы любого базиса ${\displaystyle E=K(e_{1},...e_{n})}$. Обратно, любое конечно порождённое алгебраическое расширение является конечным. В самом деле, ${\displaystyle K(\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})=K(\alpha _{1})(\alpha _{2})...(\alpha _{n})}$. Элементы ${\displaystyle \alpha _{i}}$ будучи алгебраическими над ${\displaystyle K}$ остаются таковыми и над бо́льшим полем ${\displaystyle K(\alpha _{1})...(\alpha _{i-1})}$. Далее применяем теоремы о конечности простых алгебраических расширений и башне конечных расширений.

Если ${\displaystyle E\supset K}$ конечно, то для любого расширения ${\displaystyle F\supset K}$ то, (если ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle E}$ содержатся в каком-нибудь поле) композит полей ${\displaystyle EF}$ является конечным расширением ${\displaystyle F}$).

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 — М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра — М:, Мир, 1967