Квантовое состояние

Квантовая механика
Введение^[англ.] История Математические основы
Основа Классическая механика Постоянная Планка Интерференция Бра и кет Гамильтониан Старая квантовая теория
Фундаментальные понятия Квантовое состояние Квантовая наблюдаемая Волновая функция Квантовая суперпозиция Квантовая запутанность Смешанное состояние Измерение Неопределённость Принцип Паули Дуализм Декогеренция Симметрия Теорема Эренфеста Туннельный эффект
Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера Опыт Франка — Герца Опыт Штерна — Герлаха Опыт Юнга Квантовый ластик Квантовый ластик с отложенным выбором Проверка неравенств Белла Фотоэффект Эффект Комптона
Формулировки Представление Шрёдингера Представление Гейзенберга Представление взаимодействия Представление фазового пространства Матричная квантовая механика Интегралы по траекториям Диаграммы Фейнмана
Уравнения Шрёдингера Паули Клейна — Гордона Дирака Швингера — Томонаги фон Неймана Блоха Линдблада Гейзенберга
Интерпретации Копенгагенская Теория скрытых параметров Локальная^[англ.] Супердетерминизм Многомировая Теория де Бройля — Бома
Развитие теории Квантовая теория поля Квантовая электродинамика Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама Квантовая хромодинамика Стандартная модель Квантовая гравитация
Сложные темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая гравитация Теория всего
Известные учёные Планк Эйнштейн Шрёдингер Гейзенберг Йордан Бор Паули Дирак Фок Борн де Бройль Ландау Фейнман Бом Эверетт
См. также История возникновения Глоссарий^[англ.] ЭПР-парадокс
См. также: Портал:Физика

Квантовое состояние — любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система. Чистое квантовое состояние может быть описано:

• В волновой механике — волновой функцией,
• В матричной механике — вектором состояния, или полным набором квантовых чисел для определённой системы.

Эти описания математически равнозначны. В общем случае квантовое состояние (смешанное) принципиально не может быть описано волновой функцией и должно быть описано матрицей плотности, являющейся неотрицательным самосопряжённым оператором с единичным следом. Квантовые состояния можно интерпретировать как статистические ансамбли с некоторыми фиксированными квантовыми числами.

Распределение плотности вероятности для электрона в атоме водорода, находящемся в различных состояниях.

Векторы состояний

Для описания возможных состояний заданной квантовой системы применяется математический аппарат гильбертова пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, позволяющий практически полностью описать всё, что может происходить с системой.

Для описания квантового состояния в этом случае вводится так называемый вектор состояния (амплитуда состояния), представляющий собой множество математических величин, которое полностью описывает квантовую систему. К примеру, множество 4 чисел {${\displaystyle n\ }$, ${\displaystyle \ell \ }$, ${\displaystyle m_{\ell }\ }$, ${\displaystyle m_{s}}$} определяет состояние электрона в атоме водорода, и называются квантовыми числами электрона.

Подобная конструкция оказывается возможной благодаря принципу суперпозиции для квантовых систем. Он проявляется в том, что если существуют два возможных состояния квантовой системы, причём в первом состоянии некоторая наблюдаемая величина может принимать значения p₁, p₂, …, а во втором — q₁, q₂,… , то существует и состояние, называемое их суперпозицией, в котором эта величина может принимать любое из значений p₁, p₂, …, q₁, q₂,…. Количественное описание этого явления приведено ниже.

Обозначения бра-кет

Основная статья: Бра и кет

Будем обозначать вектор состояния, соответствующий состоянию ${\displaystyle \psi }$, как ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$. Сопряжённый вектор, соответствующий состоянию ${\displaystyle \psi }$, будем обозначать как ${\displaystyle \left\langle \psi \right|}$. Скалярное произведение векторов ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ и ${\displaystyle \left|\phi \right\rangle }$ будем обозначать как ${\displaystyle \left\langle \phi |\psi \right\rangle }$, а образ вектора ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ под действием оператора ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ будем обозначать ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left|\psi \right\rangle }$. Символ ${\displaystyle \left\langle \psi \right|}$ называется бра (англ. bra), а символ ${\displaystyle \psi }$, как ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ — кет (англ. ket). Подобные обозначения в целом согласуются с обозначениями обычной линейной алгебры, но более удобны в квантовой механике, так как позволяют более наглядно и коротко называть используемые векторы. Такие обозначения были впервые введены Дираком. Названия векторов образованы разбиением слова bracket (скобка) на две звучные части — bra и ket.

Математический формализм

Основная статья: Математические основы квантовой механики

Всякий ненулевой вектор из пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ соответствует некому чистому состоянию. Однако векторы, различающиеся лишь умножением на ненулевое комплексное число, отвечают одному физическому состоянию. Иногда полагают, что вектор состояния ${\displaystyle |\psi \rangle }$ обязан быть «нормирован на единицу»: ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$ — любой ненулевой вектор приобретает это свойство, если разделить его на свою норму ${\displaystyle {\sqrt {\langle \psi |\psi \rangle }}}$.

Если мы рассмотрим два различных состояния, то суперпозиции (всевозможные линейные комбинации) пары соответствующих им векторов дадут двумерное линейное комплексное пространство. Соответственное множество физических состояний будет представлять двумерную поверхность — сферу Римана.

При рассмотрении квантовой системы, состоящей из двух подсистем, пространство состояний строится в виде тензорного произведения. Подобные системы, помимо комбинаций состояний своих подсистем, имеют также и сцепленные (запутанные) состояния.

«Количество состояний»

Если система имеет хотя бы два физически различных состояния, то мощность множества возможных векторов состояния (даже с точностью до умножения на комплексное число), разумеется, бесконечна. Однако под количеством состояний квантовой системы подразумевают количество линейно независимых состояний, то есть размерность пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Это вполне соответствует интуиции, поскольку описывает количество возможных исходов измерения; к тому же при тензорном произведении (то есть построении составной системы) размерности пространств перемножаются.

В контексте рассмотрения замкнутой квантовой системы (то есть решения уравнения Шрёдингера) под состояниями могут пониматься только стационарные состояния — собственные векторы гамильтониана, отвечающие различным уровням энергии. В случае конечномерного пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ и при отсутствии вырождения число уровней энергии (и соответствующих им состояний) будет равно размерности пространства.

Чистое состояние

Чистое состояние — это полностью указанное квантовое состояние. Если данный квантовый объект (например, какая-то элементарная частица) находится в чистом состоянии, это означает, что у нас есть вся информация о ней. Только чистые состояния полностью можно описать волновыми функциями.

См. также

• Плотность состояний
• Квантовая наблюдаемая

Литература

• Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шрёдингера. М.: Изд-во МГУ, 1983. 392 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c. Глава IV.
• Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с. Архивная копия от 11 ноября 2007 на Wayback Machine
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.
• Isham, Chris J. Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations. — Imperial College Press, 1995.
• Bratteli, Ola. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1 / Ola Bratteli, Robinson, Derek W. — Springer, 1987. — ISBN 2nd edition.
• Bengtsson I. Geometry of Quantum States / Bengtsson I, Życzkowski K. — Cambridge : Cambridge University Press, 2006.