Квантовое неравенство Крамера — Рао

Квантовое неравенство Крамера — Рао — неравенство для нижней границы для среднеквадратической ошибки в квантовой теории оценивания, аналогичное неравенству Крамера — Рао в классической теории оценивания.

Формулировка

Рассмотрим квантовое оценивание оператора плотности ${\displaystyle \rho (\theta )}$ при помощи вероятностно-операторной меры ${\displaystyle d\Pi ({\hat {\theta }})}$, дающее оценку ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ Апостерирорную плотность распределения вероятностей квантовой оценки можно вычислить как ${\displaystyle q({\hat {\theta }}|\theta )=q({\hat {\theta }}|\theta )d^{m}\theta =\operatorname {Tr} [\rho (\theta )d\Pi ({\hat {\theta }})]}$. Математические ожидания квантовых оценок получаются в виде ${\displaystyle {\bar {\theta }}_{j}=E({\hat {\theta }}_{j}|\theta )=\int _{\Theta }{\hat {\theta }}_{j}\,\operatorname {Tr} [\rho (\theta )d\Pi ({\hat {\theta }})]}$. Здесь ${\displaystyle \operatorname {Tr} }$ — след оператора в гильбертовом пространстве. Рассмотрим несмещенные оценки, то есть оценки, для которых справедливо тождество: ${\displaystyle {\bar {\theta }}_{j}=E({\hat {\theta }}_{j}|\theta )=\theta _{j}}$. Ковариации несмещенных оценок ${\displaystyle B_{ij}}$ даются выражением: ${\displaystyle B_{ij}=E[({\hat {\theta }}_{i}-{\bar {\theta }}_{i})({\hat {\theta }}_{j}-{\bar {\theta }}_{j})|\theta ]=\int _{\Theta }({\hat {\theta }}_{i}-{\bar {\theta }}_{i})({\hat {\theta }}_{j}-{\bar {\theta }}_{j})\operatorname {Tr} \rho (\theta )\,d\Pi ({\hat {\theta }})}$. При квадратичной функции потерь средний риск равен ${\displaystyle {\bar {C}}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}g_{ij}B_{ij}=\operatorname {tr} GB}$. Здесь ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ — след матрицы^[1].

Первая форма квантового неравенства Крамера-Рао^[2]:

${\displaystyle {\tilde {Y}}BY\geqslant {\tilde {Y}}A^{-1}Y}$.

Вторая форма квантового неравенства Крамера-Рао^[2]:

${\displaystyle {\tilde {Z}}B^{-1}Z\geqslant {\tilde {Z}}AZ}$.

Здесь ${\displaystyle A_{ij}=\operatorname {Tr} \left({\frac {\partial \rho }{\partial \theta _{i}}}L_{j}\right)}$, ${\displaystyle L_{k}}$ определяются по формуле ${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial \theta _{k}}}={\frac {1}{2}}(\rho L_{k}+L_{k}\rho )}$, ${\displaystyle Y,Z}$ получаем из ${\displaystyle \operatorname {Re} \operatorname {Tr} \left(\int _{\Theta }T_{\theta }\rho T_{L}\,d\Pi ({\hat {\theta }})\right)={\tilde {Y}}Z}$, где ${\displaystyle T_{\theta }=1\sum _{j=1}^{m}y_{j}({\hat {\theta }}_{j}-\theta _{j})}$, ${\displaystyle T_{L}=\sum _{k=1}^{L}z_{k}L{k}}$.

Примечания

1. Хелстром, 1979, с. 295.
2. Хелстром, 1979, с. 297.

Литература

• Хелстром К. Квантовая теория проверки гипотез и оценивания. — М.: Мир, 1979. — 344 с.