Квазианалитическая функция

Квазианалити́ческие фу́нкции в математическом анализе — класс функций, которые, нестрого говоря, можно полностью реконструировать по их значениям на небольшом участке (например, на границе области). Такое свойство значительно облегчает решение дифференциальных уравнений и исследование других задач анализа. Поскольку это свойство выполняется для аналитических функций (см. Комплексный анализ), то класс квазианалитических функций содержит класс обычных аналитических функций и может рассматриваться как его расширение[1].

Определения

Функции одной переменной

Один из многих определяющих признаков аналитической функции: пусть функция неограниченно дифференцируема во всех точках отрезка и пусть существует число (зависящее от функции) такое, что для всех точек выполняется неравенство:

Тогда функция аналитическая (обратная теорема также верна)[2].

Жак Адамар в 1912 году предложил обобщить приведенное неравенство, заменив последовательность на последовательность общего вида положительных вещественных чисел. Он определил на интервале [a,b] класс функций CM([a,b]) следующим образом:

Всякая функция из класса неограниченно дифференцируема (f ∈ C([a,b])), причём во всех точках x ∈ [a,b] и для всех выполняется условие:

где A — некоторая константа (зависящая от функции).

Если взять последовательность Mk =1, то, согласно сказанному в начале раздела, мы получим в точности класс обычных вещественных аналитических функций на интервале [a,b].

Класс CM([a,b]) называется квазианалитическим, если для всякой функции f ∈ CM([a,b]) выполнено условие однозначности: если в некоторой точке x ∈ [a,b] для всех k, то f тождественно равна нулю.

Элементы квазианалитического класса называются квазианалитическими функциями. Приведенное условие означает, что две функции, совпадающие в некоторой точке вместе со всеми своими производными, совпадают всюду. Другими словами, значения функции на произвольно малом участке полностью определяют все её значения.

Функции нескольких переменных

Для функции и для набора индексов обозначим:

Тогда называется квазианалитической в открытой области если для каждого компактного существует константа такая, что:

для всех индексов из набора и во всех точках .

Класс квазианалитических функций от переменных по отношению к последовательности на множестве можно обозначить , хотя в источниках встречаются и другие обозначения.

Квазианалитические классы для логарифмически выпуклых последовательностей

Предположим, что в приведенном выше определении и последовательность неубывающая. Эта последовательность называется логарифмически выпуклой, если выполняется условие:

Последовательность возрастает.

Если последовательность логарифмически выпукла, то:

также возрастает.
для всех .

Для логарифмически выпуклой квазианалитический класс представляет собой кольцо. В частности, он замкнут относительно умножения и композиции. Последнее означает:

Если и , то .

Теорема Данжуа — Карлемана

Теорема Данжуа — Карлемана была сформулирована и частично решена Арно Данжуа (Denjoy (1921)) и полностью доказана в работе Торстена Карлемана (Carleman (1926)). Эта теорема предоставляет критерий для решения вопроса, при каких последовательностях M функции CM([a,b]) образуют квазианалитический класс.

Согласно теореме, следующие утверждения равносильны:

  • CM([a,b]) — квазианалитический класс.
  • где .
  • где Mj* — наибольшая логарифмически выпуклая последовательность, ограниченная сверху Mj.

Для доказательства того, что утверждения 3, 4 равносильны 2-му, используется неравенство Карлемана.

Пример: Denjoy (1921)[3] указал, что если заданы одной из последовательностей

то соответствующий класс квазианалитический. Первая последовательность (из единиц) дает обычные аналитические функции.

Дополнительные свойства

Для логарифмически выпуклой последовательности имеют место следующие свойства соответствующего класса функций.

  • совпадает с классом аналитических функций тогда и только тогда, когда .
  • Если — другая логарифмически выпуклая последовательность, у которой (здесь — некоторая константа), то .
  • устойчиво по отношению к дифференцированию тогда и только тогда, когда .
  • Для любой неограниченно дифференцируемой функции можно найти квазианалитические кольца и и элементы такие, что .

Деление по Вейерштрассу

Определение. Функция называется регулярной порядка по отношению к , если и .

Пусть — регулярная функция порядка по отношению к . Говорят, что кольцо вещественных или комплексных функций от переменных удовлетворяет делению Вейерштрасса по отношению к , если для каждой существуют и такие, что:

, где .

Пример: кольцо аналитических функций и кольцо формальных степенных рядов оба удовлетворяют свойству деления Вейерштрасса. Если, однако, логарифмически выпукло и не совпадает с классом аналитических функций, то не удовлетворяет свойству деления Вейерштрасса по отношению к .

История

Ключевой вопрос данной темы — способность аналитической функции однозначно восстанавливать свой «глобальный облик» по значениям самой функции и её производных в произвольной регулярной точке[4]. Эмиль Борель первым обнаружил, что это свойство имеет место не только для аналитических функций.

В 1912 году Жак Адамар сформулировал вопрос: какой должна быть последовательность чтобы приведенное выше «условие однозначности» выполнялось для любой пары функций из соответствующего класса. Арно Данжуа в 1921 году привёл достаточные условия квазианалитичности и ряд примеров квазианалитичных классов (см. Denjoy (1921)). Полное решение проблемы дал пять лет спустя Торстен Карлеман (см. Carleman (1926)), установивший необходимые и достаточные условия квазианалитичности[1].

В дальнейшем С. Н. Бернштейн и Ш. Мандельбройт обобщили понятие квазианалитичности на классы недифференцируемых и даже разрывных функций. Простейший пример — совокупность решений линейного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами; функции, входящие в это решение, вообще говоря, не обладают бесконечным числом производных[5]..

Примечания

Литература

Ссылки

Read other articles:

1st Battalion, 319th Airborne Field Artillery Regiment319th AFAR distinctive unit insigniaActive1917–presentCountryUnited StatesBranchArmyTypeAirborne field artilleryGarrison/HQFort LibertyNickname(s)LoyaltyEquipmentM119A3 M777A2 AN/TPQ-50 AN/TPQ-53Insignia319th AFAR coat of armsUnit flashMilitary unit The 1st Battalion, 319th Airborne Field Artillery Regiment (1-319 AFAR) is the airborne field artillery battalion assigned to the 3rd Brigade Combat Team, 82nd Airborne Division. Nicknamed Lo...

 

American politician from Colorado Angela WilliamsWilliams in 2010Member of the Colorado Senatefrom the 33rd districtIn officeJanuary 11, 2017 – January 13, 2021Preceded byMike JohnstonSucceeded byJames ColemanMember of the Colorado House of Representativesfrom the 7th districtIn officeJanuary 11, 2011 – January 11, 2017Preceded byTerrance CarrollSucceeded byJames Coleman Personal detailsBorn (1964-02-14) February 14, 1964 (age 59)Morris, OklahomaPolitica...

 

Para la localidad en el ejido de Skrad, Croacia, véase Gorani (Croacia). GoranisГорани Bandera de los gorani.Festival gorani en Shishtavec (Albania).Descendencia 84.000Idioma Serbio, albanés, macedonio, dialectos torlakReligión Islam suníEtnias relacionadas Musulmanes (nacionalidad)Asentamientos importantes Serbia Albania148[1]​ Macedonia del Norte[editar datos en Wikidata]Los goranis son un pueblo eslavo parte del pueblo serbio[2]​[3]​[4]​ que habi...

Halaman ini berisi artikel tentang prefektur Tokyo dan kota-kotanya. Untuk kegunaan lain, lihat Tokyo (disambiguasi). Tokyo 東京都MetropolisMetropolis TokyoDari atas searah jarum jam: Kawasan bisnis Nishi-Shinjuku, Jembatan Pelangi, Gedung Parlemen Jepang, Shibuya, dan Tokyo Skytree BenderaLambangLambangHimne daerah: Lagu Metropolitan Tokyo (東京都歌code: ja is deprecated , Tōkyō-to Ka)[1]Lokasi Tokyo di JepangKoordinat: 35°41′N 139°41′E / 35.683°N 139....

 

هذه المقالة تحتاج للمزيد من الوصلات للمقالات الأخرى للمساعدة في ترابط مقالات الموسوعة. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة وصلات إلى المقالات المتعلقة بها الموجودة في النص الحالي. (يوليو 2023) تقانة الغذاءصنف فرعي من علم الغذاء يمتهنه تقني غذاء الموضوع إعداد المأكولات وال

 

48º Etapa Departamental Arequipa Perú 2014 Etapa Departamental de Arequipa 2014 Sede Arequipa Fecha 26 de julio de 201414 de Septiembre de 2014 Cantidad de equipos 14 equipos Podio • Campeón• Subcampeón• Semifinalistas   Futuro Majes Sportivo Cariocos Internacional Sport José Granda Partidos 45 Goles anotados 159 (3.53 por partido) La Etapa Departamental de Arequipa 2014 fue la edición número 48 de la competición futbolística Arequipeña. El torneo otorga al cuadro ca...

World's End Harem終末のハーレム(Shūmatsu no Hāremu)GenreHarem, Fiksi ilmiah MangaPengarangLINKIlustratorKotaro ShōnoPenerbitShueishaPenerbit bahasa InggrisNA Seven Seas EntertainmentMajalahShōnen Jump+DemografiShōnenTerbit8 Mei 2016 – 7 Mei 2023Volume18 (Daftar volume)  Portal anime dan manga World's End Harem (終末しゅうまつのハーレムcode: ja is deprecated , Shūmatsu no Hāremu) adalah seri manga Jepang yang dikarang oleh LINK dan diilustrasikan oleh Kotar...

 

Peace initiatives proposed independently Politics of Syria Member State of the Arab League Constitution Preamble and Chapter 1 Chapter 2 Chapter 3 Chapter 4 Human rights Executive President (list) Bashar al-Assad Vice President Najah al-Attar Prime Minister (list) Hussein Arnous Deputy Prime Minister Ali Abdullah Ayyoub Legislature People's Assembly Speaker: Hammouda Sabbagh Judiciary High Judicial Council Supreme Constitutional Court Subdivisions Governorates Districts Subdistricts (Nahiyas)...

 

Species of true bug Gerris lacustris A pair of common water striders copulating Scientific classification Kingdom: Animalia Phylum: Arthropoda Class: Insecta Order: Hemiptera Suborder: Heteroptera Infraorder: Gerromorpha Family: Gerridae Genus: Gerris Species: G. lacustris Binomial name Gerris lacustris(Linnaeus, 1758) Gerris lacustris, commonly known as the common pond skater or common water strider, is a species of water strider, found across Europe.[1] Description Water stride...

European nobility For other uses, see Bentinck (disambiguation). BentinckCountryNetherlandsUnited KingdomFounded14th centuryFounderJohan BentinckTitlesNetherlands: Baron Bentinck, Count Bentinck†; HRE: Count Bentinck (Imperial Count); England: Baron Cirencester, Viscount Woodstock, Earl of Portland; Great Britain: Marquess of Titchfield†, Duke of Portland†. The Bentinck family is a prominent family belonging to Dutch, German and British nobility. Its members have served in the armed for...

 

Celebrity comics are comics based on the fame and popularity of a celebrity.[1] They are a byproduct of merchandising around a certain media star or franchise and have existed since the mass media and comics came into existence in the 19th century. Celebrity comics are usually not held in high esteem by critics, because of their purely commercial nature. They are solely created to capitalize on media trends and therefore published so quickly and cheaply that drawings and narratives te...

 

South Coast Australian Football LeagueSportAustralian rules footballFounded1969No. of teams11CountryAustraliaMost recentchampion(s)Figtree KangaroosOfficial website[1] The AFL South Coast is an Australian rules football competition in the Shoalhaven and Illawarra regions of New South Wales. The AFLSC has three divisions of senior men's football and one division of senior women's football. In 2012 The South Coast AFL became AFL South Coast incorporating the three leagues of South Coast AFL Sen...

Kepala timah Status konservasi Risiko Rendah (IUCN 3.1) Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Animalia Filum: Chordata Kelas: Actinopterygii Ordo: Cyprinodontiformes Famili: Aplocheilidae Genus: Aplocheilus Spesies: A. armatus Nama binomial Aplocheilus armatus(van Hasselt, 1823) Sinonim Odontopsis armata van Hasselt, 1823[1] Aplocheilus panchax dorsomarginatus Klausewitz, 1957 Aplocheilus panchax rubropunctatus Meinken, 1964 Aplocheilus panchax siamensis Scheel, 1968 Panchax kuhlii V...

 

College football stadium in Ruston, Louisiana Joe Aillet StadiumThe JoeThe press box and suites at Joe Aillet StadiumFormer namesLouisiana Tech Stadium (1968–1972)Address1450 West Alabama AvenueLocationRuston, LA 71272Coordinates32°31′55″N 92°39′21″W / 32.532021°N 92.655899°W / 32.532021; -92.655899OwnerLouisiana Tech UniversityOperatorLouisiana Tech UniversityCapacity23,000 (1968–1988)30,600 (1989–2013)27,717 (2014)[1]28,019 (2015–2016)28,5...

 

У этого термина существуют и другие значения, см. Крик (значения). Крикангл. Scream Жанры антологияслэшерподростковая драмаужасымистерия Создатели Джилл БлотевогельДэн ДворкинДжей Битти Основано на франшизы Уэса Крэйвена «Крик» Сценаристы Джилл БлотевогельДэн Дворки...

Historic district in Alabama, United States United States historic placeLowndesboroU.S. National Register of Historic PlacesU.S. Historic district The Will Stone Store, (Est. 1820), one of the contributing properties in the districtShow map of AlabamaShow map of the United StatesLocationN of U.S. 80, Lowndesboro, AlabamaCoordinates32°17′14″N 86°36′11″W / 32.28722°N 86.60306°W / 32.28722; -86.60306Area1,800 acres (730 ha)Architectural styleGreek Re...

 

River in the United StatesLittle River (Etowah River)Little River in Cherokee CountyLocationCountryUnited StatesPhysical characteristicsSource  • locationGeorgia The Little River is a 29.3-mile-long (47.2 km)[1] tributary of the Etowah River in the U.S. state of Georgia in the United States. The Little River is located mostly in Cherokee County, and forms the jagged part of the Cherokee/Fulton (formerly Cherokee/Milton) county line, and part of the more ...

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أبريل 2022) جزء من سلسلة مقالات حولسياسة المخطط  [لغات أخرى]‏ الفهرس  [لغات أخرى]‏ التصنيف المواضيع الرئيسية اقتصاد سياسي تاريخ سياسي التاريخ السياسي للع...

American football player and announcer (1936–1998) This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Vic Prinzi – news · newspapers · books · scholar · JST...

 

US Navy Nimitz-class aircraft carrier This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources in this article. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: USS Dwight D. Eisenhower – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2008) (Learn how and when to remove this template message) USS Dwight D. Eisenhower USS Dwight D. Eisenhower underway in th...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!