Интеграл Дюамеля

Рис. 1. Пример линейной электрической цепи.

Рис. 2. Единичная функция — функция Хевисайда (сверху) и пример переходной функции линейной системы — отклик её на функцию Хевисайда (внизу).

Интегра́л Дюаме́ля — интеграл специального вида, применяется для расчёта отклика линейных систем на произвольно меняющееся во времени входное воздействие. Применимость этого интеграла основана на принципе суперпозиции для линейных систем, в которых отклик её на сумму нескольких воздействий как одновременных, так и сдвинутых во времени равен сумме откликов от каждого из слагаемых сигналов.

Используется для расчёта откликов линейных механических систем, линейных электрических цепей и др.

Назван в честь Жана Мари Констана Дюамеля, французского математика, предложившего его для расчёта отклика механических систем.

Идея применения метода состоит в следующем. Входной сигнал представляется в виде суммы (в общем случае бесконечной) некоторых стандартных сигналов, для которых отклик системы ${\displaystyle h(t)}$, называемый переходной функцией, известен.

В качестве стандартного входного сигнала в этом методе используется ступенчатая функция Хевисайда ${\displaystyle H(t)}$. Отклик системы выражается в виде интеграла от произведения задержанного ${\displaystyle h(t)}$ на входное воздействие (свёртка функций), который носит название интеграла Дюамеля.

Таким образом, зная отклик системы на воздействие в виде функции Хевисайда, описанный в аналитическом виде или полученный экспериментально, можно предсказать (рассчитать) отклик системы на произвольное входное воздействие.

Формулы

Для использования интеграла Дюамеля необходимо предварительно вычислить или измерить переходную функцию системы ${\displaystyle h(t)}$, которая является откликом системы на ступенчатый единичный входной сигнал (рис. 2).

Переходная функция, если она неизвестна, находится любым доступным методом (решение системы дифференциальных уравнений, операторный метод, измерением и т. д.). Для линейной системы переходной функцией может быть апериодический, колебательный, затухающий колебательный процессы или комбинация нескольких перечисленных процессов. Например, для системы рис. 1, переходная функция является апериодическим процессом, изображённым на рис. 2^[1].

Если входной сигнал системы описывается функцией ${\displaystyle U(\tau )}$, где ${\displaystyle \tau }$ — независимая переменная, реакция системы на этот сигнал выражается формулой, где ${\displaystyle U'(\tau )}$ производная входного воздействия по времени:

${\displaystyle Y(t)=U(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U'(\tau )h(t-\tau )d\tau .}$

В случае, если входной сигнал составной и функция ${\displaystyle U(t)}$ испытывает разрывы (моменты времени ${\displaystyle t_{1}}$ , ${\displaystyle t_{2}}$ на рис. 3), то вышеуказанная формула справедлива только на интервале [0, ${\displaystyle t_{1}}$]:

${\displaystyle Y_{1}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau .}$

Отклик на остальных интервалах вычисляется по формулам, вытекающим из принципа суперпозиции:

${\displaystyle Y_{2}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{2}(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+\int _{t_{1}}^{t}U_{2}'(\tau )h(t-\tau )d\tau ;}$

${\displaystyle Y_{3}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{2}(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+}$

${\displaystyle +\int _{t_{1}}^{t_{2}}U_{2}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{3}(t_{2})-U_{2}(t_{2})\right]\cdot h(t-t_{2})+\int _{t_{2}}^{t}U_{3}'(\tau )h(t-\tau )d\tau .}$

Последние формулы означают, что:

• Отклик системы, возникший на ранних этапах развития процесса, продолжает действовать во всех последующих интервалах времени.
• Разрыв функции в момент времени ${\displaystyle t_{p}}$ на величину ${\displaystyle E}$ эквивалентен прибавлению или вычитанию из входного сигнала единичной функции с соответствующим коэффициентом и сдвинутой на соответствующий интервал времени ${\displaystyle E\cdot 1(t-t_{p})}$ , что прибавляет в отклику системы дополнительный сигнал ${\displaystyle E\cdot h(t-t_{p})}$.
• К указанным выше сигналам отклика в последующие интервалы времени прибавляются отклики, вычисленные по тем же формулам с учётом сдвига входного сигнала на соответствующее время.

Пример применения интеграла Дюамеля для решения

Рис. 3. Пример сложного входного сигнала.

Для линейной цепи рис. 1 найдём ток ${\displaystyle I_{3}(t)}$ через конденсатор под действием сложного входного сигнала, изображённого на рис. 3.

Вычисление переходной функции

Чтобы найти вид переходной функции, найдём решения характеристического уравнения

${\displaystyle Z(p)=0,}$

где ${\displaystyle Z(p)}$ — записанное в операторной форме входное сопротивление системы со стороны источника сигнала, ${\displaystyle p}$ — комплексная переменная.

${\displaystyle Z(p)=R_{1}+R_{2}||X_{C}=R_{1}+{\frac {R_{2}}{1+R_{2}pC}}={\frac {R_{1}+R_{2}+R_{1}R_{2}pC}{1+R_{2}pC}};}$

${\displaystyle R_{1}+R_{2}+R_{1}R_{2}pC=0;}$

${\displaystyle p=-{\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}C}}=-A.}$

Характеристическое уравнение имеет одно действительное решение, следовательно, переходная функция представляет собой экспоненту:

${\displaystyle h(t)=h_{0}e^{-At}.}$

Полагая, что в момент времени ${\displaystyle t=0}$ конденсатор разряжен, получим

${\displaystyle h_{0}=h(0)={\frac {1}{R_{1}}};h(t)={\frac {1}{R_{1}}}e^{-At}.}$

Вычисление отклика системы на сложный сигнал

Интервалы для вычисления
Сигнал	Интервал	${\displaystyle U_{i}(t)}$	${\displaystyle U'_{i}(t)}$
${\displaystyle U_{1}(t)}$	${\displaystyle 0...t_{1}}$	${\displaystyle {\frac {2E}{t_{1}}}t}$	${\displaystyle {\frac {2E}{t_{1}}}}$
${\displaystyle U_{2}(t)}$	${\displaystyle t_{1}...t_{2}}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle U_{3}(t)}$	${\displaystyle t_{2}...{\mathcal {1}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$

Представление сигнала

Сложный входной сигнал представим в виде кусочной функции на трёх временных интервалах, указанных в таблице.

Решение

Решение ищется кусочно, для каждого интервала времени, в формулах ${\displaystyle A={\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}C}}.}$

${\displaystyle Y_{1}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau =}$

${\displaystyle =0\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-At}+\int _{0}^{t}{\frac {2E}{t_{1}}}\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =}$

${\displaystyle ={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}{\Bigr |}_{0}^{t}={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}\cdot (1-e^{-At}).}$

${\displaystyle Y_{2}(t)=\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{2}(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+\int _{t_{1}}^{t}U_{2}'(\tau )h(t-\tau )d\tau =}$

${\displaystyle ={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)+(E-2E)\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}+\int _{t_{1}}^{t}0\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =}$

${\displaystyle ={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}.}$

${\displaystyle Y_{3}(t)={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}+\left[U_{3}(t_{2})-U_{2}(t_{2})\right]\cdot h(t-t_{2})+\int _{t_{2}}^{t}U_{3}'(\tau )h(t-\tau )d\tau =}$

${\displaystyle ={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}+(0-E)\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{2})}+\int _{t_{2}}^{t}0\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =}$

${\displaystyle ={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}-{\frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{2})}.}$

Ссылки

• Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. — 7-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1978. — 528 с.
• Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. радиотехн. спец. вузов. 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1990. — 400 с.
• Ni Zhenhua. Mechanics of Vibrations. Xi’an Jiaotong University Press, Xi’an, 1990 (in Chinese).
• R. W. Clough, J. Penzien. Dynamics of Structures. Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975.
• Anil K. Chopra. Dynamics of Structures — Theory and applications to Earthquake Engineering. Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001.
• Leonard Meirovitch. Elements of Vibration Analysis. Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986.
• Duhamel’s formula at «Dispersive Wiki».
• Расчет переходного процесса с помощью интеграла Дюамеля.
• Интеграл Дюамеля. Метод переменных состояния.
• Переходные и импульсные характеристики. Интеграл Дюамеля.
• Интеграл Дюамеля.

Примечания

1. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники: в 2-х т. Учебник для вузов. Том I. — 3-е изд., перераб. и доп. — Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. — 536 с., ил.

См. также

Преобразование Лапласа