Инвариант Концевича

Инвариант Концевича, (или интеграл Концевича^[1]) — инвариант ориентированного оснащённого зацепления определённого типа. Является универсальным инвариантом Васильева^[2] в том смысле, что каждый коэффициент инварианта Концевича является инвариантом конечного типа, и наоборот, любой инвариант конечного типа может быть представлен в виде линейной комбинации таких коэффициентов. Является далеко идущим обобщением простой интегральной формулы для числа зацепления^[3].

Инвариант был определён Максимом Львовичем Концевичем в 1992 году в доказательстве теоремы Васильева — Концевича.

Инвариант Концевича является универсальным квантовым инвариантом^[англ.] в том смысле, что любой квантовый инвариант может быть получен путём подстановки подходящей весовой системы в диаграмму Якоби.

Определение

Инвариант Концевича определяется как монодромия связности Книжника — Замолодчикова^[англ.] в дополнении к объединению диагональных гиперплоскостей в C^n[4].

Простейший интеграл типа Концевича

Представим трехмерное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ как прямое произведение комплексной прямой ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с координатой z и вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с координатой t. Вложим зацепление ${\displaystyle L=K\cup K'}$ в пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=z\times t}$ так, чтобы координата t была функцией Морса на L. Это значит, что во всех точках, где t как функция параметра на кривой имеет нулевую производную, ее вторая производная не должна обращаться в нуль, а значения t во всех таких точках (критические значения) должны быть различны между собой^[5]. Оказывается, число зацепления можно тогда сосчитать по такой формуле:

${\displaystyle lk(K,K')={\tfrac {1}{2\pi }}\int _{m}^{M}\sum _{j}{\varepsilon _{j}{\frac {d(z_{j}(t)-z'_{j}(t))}{z_{j}(t)-z'_{j}(t)}}}}$

Формула Концевича

(Исходный) интеграл Концевича узла K — это следующий элемент пополнения алгебры ${\displaystyle {\bar {\mathcal {A}}}}$ хордовых диаграмм^[5]:

${\displaystyle Z(K)=\sum _{m=0}^{\infty }{{\tfrac {1}{(2\pi i)^{m}}}\int _{t_{min}<t_{1}<\ldots <t_{m}<t_{max}}{\sum _{P=\left\{(z_{j},z'_{j})\right\}}{(-1)^{\downarrow }D_{p}\bigwedge _{j=1}^{m}{\frac {dz_{j}-dz'_{j}}{z_{j}-z'_{j}}}}}}}$

Объяснение этой формулы см. в статье С. В. Дужина. Если обозначить через H тривиальный узел, вложение которого в пространство даёт два максимума и два минимума, получим^[6]:

${\displaystyle I(K)={\frac {Z(K)}{Z(K)^{c/2}}}}$,

где c — число критических точек функции t на K.

Можно показать, что интеграл ${\displaystyle Z(K)}$, во-первых, сходится для любого узла, расположенного в пространстве указанным выше способом, а во-вторых, не меняется при гладких изотопиях узла, при которых сохраняется число критических точек функции t. Ввиду того, что узел — замкнутая кривая, появляться и исчезать критические точки могут только парами.

${\displaystyle I(K)}$ называется окончательным интегралом Концевича

Интеграл Концевича — довольно сложный объект, и в течение нескольких лет никто не умел вычислять окончательный интеграл Концевича даже для тривиального узла. Известны были лишь коэффициенты при некоторых хордовых диаграммах в бесконечной сумме.

В 1997 году появилась гипотеза Д. Бар-Натана с соавторами^[7] (доказана в 1998^[8]), что^[9]

${\displaystyle I(O)=\exp \sum _{n=1}^{\infty }{b_{2n}w_{2n}}}$,

здесь O — неузел (окружность), эквивалентный H, ${\displaystyle b_{2n}}$ — модифицированные числа Бернулли, а ${\displaystyle w_{2n}}$ — колёса, т.е. диаграммы в виде окружности с радиальными отрезками. Произведения колёс понимаются как несвязное объединение диаграмм, а сами колёса интерпретируются как линейные комбинации диаграмм Фейнмана (см. ниже).

Диаграмма Якоби

Диаграмма Фейнмана и хордовая диаграмма

Диаграмма Фейнмана степени n — это связный трёхвалентный граф с 2n вершинами, в котором выделен ориентированный цикл, называемый петлёй Уилсона^[10]. Хордовая диаграмма является частным случаем диаграмм Фейнмана (у них все трёхвалентные вершины лежат на петле Уилсона). Степень диаграммы Фейнмана — это половина общего числа вершин графа. Диаграмма Фейнмана называется связной, если соответствующий граф остаётся связным после отбрасывания петли Уилсона^[3].

Определение

Пример диаграммы Якоби

Пусть X — окружность (которая является 1-мерным многообразием и будет служить петлёй Уилсона). Как показано на рисунке справа, диаграмма Якоби порядка n является графом с 2n вершинами, в котором внешняя окружность (петля Уилсона) отражена сплошной линией, а пунктирные линии называются внутренним графом, который удовлетворяет следующим условиям:

1. Направление указывается только на внешнем цикле.
2. Вершины имеют значения 1 или 3. Вершины со значением 3 связаны с одним из других (полу)рёбер по часовой или против часовой стрелки, что отражено в маленькой ориентированной окружности.

Вершины со значением 1 часто называют одновалентными, а со значением 3 — трёхвалентными^[11]. Одновалентные вершины связаны с внешней окружностью без кратности и упорядочены ориентацией окружности. Диаграмма Якоби может быть несвязной, при этом требуется, чтобы в каждой компоненте связности была хотя бы одна одновалентная вершина^[11]. Рёбра на G называются хордами. Мы обозначаем как A(X) факторпространство коммутативной группы, образованной всеми диаграммами Якоби на X по следующим соотношениям:

(Соотношение AS) + = 0

( Соотношение IHX) = −

( Соотношение STU) = −

(Соотношение FI) = 0.

Если любая связная компонента графа G имеет вершину со значением 3, то мы можем превратить диаграмму Якоби в хордовую диаграмму с помощью рекурсивного применения соотношения STU. Если ограничиться только хордовыми диаграммами, то четыре соотношения выше сводятся к следующим двум соотношениям:

(Четырёхчленное соотношение) − + − = 0.

(Соотношение FI) = 0.

Замечание: В диаграммах Якоби разрешены кратные рёбра и висячие петли^[12].

Свойства

Взяв среднее арифметическое по всем способам приклеивания петли Уилсона к одновалентным вершинам, любую диаграмму Якоби можно превратить в линейную комбинацию диаграмм Фейнмана^[11].

Работать с диаграммами Якоби удобнее, чем с диаграммами Фейнмана, поскольку, помимо общей градуировки половиной числа вершин, есть ещё две дополнительные градуировки: по числу компонент связности и по числу одновалентных вершин^[13].

• Степень или порядком диаграммы Якоби определяется как половина суммы чисел её вершин. Это число всегда является целым и равно числу хорд в хордовой диаграмме, полученной из диаграммы Якоби^[12].
• Подобно плетениям^[англ.], диаграммы Якоби образуют моноидальную категорию. Композиция и тензорное произведение морфизмов определяются методом «укладки коробок»:

Иначе говоря, тензорное произведение морфизмов — это несвязное объединение, а композиция — склейка соответствующих частей границы^[14].

• • В специальном случае, когда X является интервалом I, A(X) будет коммутативной алгеброй. Если рассматривать A(S¹) как алгебру с умножением, определённым как связная сумма, A(S¹) изоморфна A(I).
• Диаграмму Якоби можно рассматривать как абстракцию представления тензорной алгебры, порождённой алгебрами Ли, что позволяет нам определить некоторые операции, аналогичные to копроизведениям, коединицам и антиподам алгебр Хопфа.
• Поскольку Инварианты Васильева (инварианты конечного типа) тесно связаны с хордовыми диаграммами, можно построить сингулярный узел из хордовой диаграммы G на S¹. K_n обозначает пространство, образованное всеми сингулярными узлами степени n, каждый такой G определяет единственный элемент в K_m / K_m+1.

Весовая система

Отображение из диаграмм Якоби в положительные числа называется весовой системой. Отображение, расширенное на A(X), также называется весовой системой. Системы имеют следующие свойства:

• Пусть g — полупростая алгебра Ли, а ρ — её представление. Мы получаем весовую систему путём «подстановки» инвариантного тензора g в хорду диаграммы Якоби и ρ в базисном многообразии X диаграммы Якоби.
  • Мы можем рассматривать трёхвалентные вершины диаграмм Якоби как скобочное произведение алгебры Ли, стрелки сплошной линии как представление пространства ρ, а одновалентные вершины как действия алгебры Ли.
  • Соотношение IHX и соотношение STU соответствуют соответственно тождеству Якоби и определению представления

ρ([a, b])v = ρ(a)ρ(b)v − ρ(b)ρ(a)v.

• Весовая система играет существенную роль в доказательстве гипотезы Мервина — Мортона^[15], которая устанавливает связь многочленов Александера с многочленами Джонса.

История

Диаграммы Якоби были введены по аналогии с диаграммами Фейнмана, когда Концевич определил инварианты узла через кратные интегралы в первой половине 1990-х годов^[16]. Он представлял сингулярные точки хордами, таким образом, он работал только с хордовыми диаграммами. Д. Бар-Натан позднее сформулировал их как одно- и трёхвалентные графы, изучал их алгебраические свойства и назвал их в своей статье "диаграммами китайских иероглифов" (Chinese character diagrams)^[17]. Для обозначения этих диаграмм использовались разные термины, включая «хордовые диаграммы» и «диаграммы Феймана», но примерно с 2000 года они получили название диаграмм Якоби, поскольку соотношение IHX соответствует тождеству Якоби для алгебр Ли.

Примечания

1. Chmutov, Duzhi, 2012.
2. Kontsevich, 1993, с. 137.
3. Дужин, 2010, с. 101.
4. Дужин, 2011, с. 26.
5. Дужин, 2010, с. 102.
6. Дужин, 2010, с. 104.
7. Bar-Natan, Garoufalidis, Rozansky, Thurston, 2000, с. 217—237.
8. Bar-Natan, Le, Thurston, 2003, с. 1-31.
9. Дужин, 2010, с. 105.
10. Дужин, 2010, с. 100.
11. Дужин, 2010, с. 107.
12. Chmutov, Duzhin, Mostovoy, 2012, с. 127.
13. Дужин, 2010, с. 108.
14. Румынин, 2013, с. 1128–1149.
15. Bar-Natan, Garoufalidis, 1996, с. 103-133.
16. Kontsevich, 1993, с. 137-150.
17. Bar-Natan, 1995, с. 423-472.

Литература

• Сергей Васильевич Дужин. КОМБИНАТОРНЫЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ИНВАРИАНТОВ ВАСИЛЬЕВА. — Санкт-Петербург, 2011. — (диссертация).
• Д. А. Румынин. Алгебры Ли в симметрических моноидальных категориях // Сиб. матем. журн.. — 2013. — Т. 54, вып. 5.
• S. Chmutov, S. Duzhin, J. Mostovoy. Introduction to Vassiliev Knot Invariants (aka CDBooK). — Cambridge University Press, 2012. — ISBN 978-1-107-02083-2.
• D. Bar-Natan, S. Garoufalidis. On the Melvin-Morton-Rozansky Conjecture // Inventiones Mathematicae. — 1996. — Вып. 125.
• D.Bar-Natan, S. Garoufalidis, L. Rozansky, D. Thurston. Wheels, wheeling, and the Kontsevich integral of the unknot // Israel Journal of Mathematics.. — 2000. — Т. 119. — arXiv:q-alg/9703025.
• D. Bar-Natan, T. Q. T. Le,D. P Thurston. Two applications of elementary knot theory to Lie algebras and Vassiliev invariants // Geometry and Topology.. — 2003. — Т. 7(1).
• С.В. Дужин. Инварианты Васильева—Гусарова // Математика XX века. Взгляд из Петербурга / А.М. Вершик. — Москва: МЦНМО, 2010. — С. 87-116. — ISBN 978-5-94057-586-3.
• Sergei Chmutov, Sergei Duzhi. Kontsevich Integral // Mathworld / Eric W. Weisstein. — Wolfram Web Resource, 2012.
• D. Bar-Natan. On the Vassiliev knot invariants // Topology. — 1995. — Т. 34. — С. 423-472.
• Maxim Kontsevich. Vassiliev's knot invariants // Adv. Soviet Math. — 1993. — Т. 16, вып. 2. — С. 137.
• Tomotada Ohtsuki. Quantum Invariants – A Study of Knots, 3-Manifolds, and their Sets. — 2001. — ISBN 9789810246754.