Заряд (теория меры)

Заряд — вещественнозначная конечно-аддитивная функция множества, определённая на некоторой ${\displaystyle \sigma }$-алгебре, (например, борелевских подмножеств).

В отличие от обычной меры, под которой обычно понимают неотрицательную функцию множества, заряд может принимать и отрицательные значения.

Множество всех зарядов над произвольным множеством ${\displaystyle X}$ c сигма-алгеброй ${\displaystyle \Sigma }$ принято обозначать ${\displaystyle \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )}$.

Связанные определения

• Положительный заряд ${\displaystyle \nu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )}$ называется чисто конечно аддитивным, если для любой неотрицательной счётно-аддитивной меры ${\displaystyle \mu }$ из ${\displaystyle 0\leqslant \mu \leqslant \nu }$ вытекает, что ${\displaystyle \mu =0}$.
  • Произвольный заряд чисто конечно аддитивен, если таковы заряды ${\displaystyle \nu ^{+}}$ и ${\displaystyle \nu ^{-}}$.
• Заряд ${\displaystyle \lambda }$ абсолютно непрерывен относительно меры ${\displaystyle \mu }$, если ${\displaystyle (\forall A\in \Sigma )(\mu (A)=0\to \lambda (A)=0).}$

Свойства

• Множество всех зарядов образует нормированную решётку и даже, более того, ${\displaystyle K}$-пространство.
• Для любого заряда ${\displaystyle \nu }$ имеется положительная часть ${\displaystyle \nu ^{+}\geqslant 0}$ и отрицательная часть ${\displaystyle \nu ^{-}\leqslant 0}$. Имеет место разложение Хана — Жордана ${\displaystyle \nu =\nu ^{+}+\nu ^{-}}$, в силу которого свойства зарядов могут быть выражены в терминах теории меры.
• Пусть ${\displaystyle \mu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )}$.
  Любой заряд ${\displaystyle \nu }$ единственным образом представим в виде суммы ${\displaystyle \nu =\nu _{1}+\nu _{2}}$, где ${\displaystyle \nu _{1}}$ абсолютно непрерывна относительно ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu _{2}}$ дизъюнктна ${\displaystyle \mu }$. Такое представление меры ${\displaystyle \nu }$ принято назвать разложением по Лебегу.
• Любой заряд ${\displaystyle \nu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )}$ единственным образом представим в виде суммы ${\displaystyle \nu =\nu _{ca}+\nu _{pfa}}$, где ${\displaystyle \nu _{ca}}$ — произвольная счётно-аддитивная мера, а ${\displaystyle \nu _{pfa}}$ — произвольный чисто конечно-аддитивный заряд. Такое разложение иногда называют разложением Иосиды — Хьюита.
• Пространство ${\displaystyle \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )}$ является топологически сопряжённым к пространству измеримых и ограниченных функций, заданных над данным измеримым пространством.

История

Термин «заряд» был впервые введён А. Д. Александровым. Изучение заряда послужило толчком для развития конечно-аддитивной теории меры (1940-е годы).

См. также

• Теорема Хана о разложении^[англ.]

Литература

• Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962.
• Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциалов. — М., 1966.
• Халмош П. Теория меры. // Пер. с англ. — М., 1953.
• Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces I // Матем. сборник 1940. V.8(50), N 2. P.307-348.
• Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces II // Матем. сборник 1941. V.9(51), N 3. P.563-628.
• Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces III // Матем. сборник 1943. V.13(55), N 2. P.169-293.
• Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. v. 72, N 1. P. 46—66.