Естественное преобразование

В теории категорий есте́ственное преобразова́ние предоставляет способ перевести один функтор в другой, сохраняя внутреннюю структуру (например, композиции морфизмов). Поэтому естественное преобразование можно понимать как «морфизм функторов». Эта интуиция может быть строго формализована в определении категории функторов. Естественные преобразования — наиболее базовое определение в теории категорий наряду с функторами, потому что оно появляется в большинстве её приложений.

Определение

Пусть ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ — ковариантные функторы из категории ${\displaystyle C}$ в ${\displaystyle D}$. Тогда естественное преобразование из ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle G}$ сопоставляет каждому объекту ${\displaystyle X}$ категории ${\displaystyle C}$ морфизм ${\displaystyle \eta _{X}\colon F(X)\to G(X)}$ в категории ${\displaystyle D}$, называемый компонентой ${\displaystyle \eta }$ в ${\displaystyle X}$, так, что для любого морфизма ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ диаграмма, изображённая на рисунке ниже, коммутативна. В случае контравариантных функторов ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ определение совершенно аналогично (необходимо только обратить горизонтальные стрелки, учитывая, что их обращает контравариантный морфизм).

Если η — естественное преобразование функтора F в функтор G, мы пишем η : F → G. Также об этом говорят, что семейство морфизмов η_X : F(X) → G(X) естественно по X.

Если для каждого X в C морфизм η_X является изоморфизмом в D, то η называют естественным изоморфизмом (или, иногда, естественной эквивалентностью или изоморфизмом функторов).

Инфраестественное преобразование η из F в G — это просто семейство морфизмов η_X: F(X) → G(X). Натурализатор η, nat(η), — это самая большая подкатегория C, содержащая те объекты C, в ограничении на которые η является естественным преобразованием.

Если η : F → G и ε : G → H — естественные преобразования, мы можем взять их композицию и получить естественное преобразование εη : F → H. Это делается покомпонентно: (εη)_X = ε_Xη_X. Эта операция ассоциативна и имеет единицу, что позволяет образовать категорию функторов.

Примеры

Пример естественного преобразования

Примером естественного преобразования может служить определитель. В самом деле пусть ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо, тогда квадратные матрицы порядка ${\displaystyle n}$ над ${\displaystyle R}$ образуют моноид по умножению, а ${\displaystyle R'}$ — мультипликативный моноид самого кольца ${\displaystyle R}$. Пусть ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{n}(R)}$ будет функтором, переводящим кольцо ${\displaystyle R}$ в моноид матриц над ним. Поскольку определитель выражается через умножение, сложение и вычитание, которые сохраняются морфизмами кольца ${\displaystyle R}$ (что означает перестановочность морфизма и этих операций), отображение ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{n}(R)\rightarrow \det(\mathbf {Mat} _{n}(R))}$ будет естественным преобразованием между функтором ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{n}(R)}$ и функтором, тождественно сопоставляющим каждому кольцу ${\displaystyle R}$ его мультипликативный моноид (оба функтора из категории ${\displaystyle \mathbf {CRing} }$ коммутативных колец в категорию моноидов ${\displaystyle \mathbf {Mon} }$).

Пример «неестественного» преобразования

Приведём пример преобразования, не являющегося естественным. Пусть ${\displaystyle V}$ — n-мерное векторное пространство над полем ${\displaystyle \mathbb {F} }$. ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$ — его базис, ${\displaystyle e^{1},e^{2},\dots ,e^{n}}$ — базис сопряжённого пространства функционалов ${\displaystyle D(V)}$, такой что

${\displaystyle e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}}$

где ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ — символ Кронекера. Все n-мерные пространства изоморфны. Положим

${\displaystyle k(e_{i})=e^{i}}$

и распространим ${\displaystyle k}$ линейно на всё пространство ${\displaystyle V}$. ${\displaystyle k}$ отображает тождественный (очевидно ковариантный) функтор ${\displaystyle I}$ в контравариантный функтор ${\displaystyle D}$, отображающий векторное пространство в сопряжённое пространство функционалов. Если мы возьмём категорию конечномерных векторных пространств, где морфизмами будут изоморфизмы ${\displaystyle f}$ (а не любые линейные отображения), то можно заменить контравариантный функтор ${\displaystyle D}$ ковариантным функтором ${\displaystyle D'}$ (где ${\displaystyle D'(V)=D(V)}$, ${\displaystyle D'(f)=D(f^{-1})}$). Преобразование ${\displaystyle k\colon V\to D(V)}$ не будет естественным даже в простейшем случае одномерного пространства над полем действительных чисел. В самом деле, пусть V одномерно и изоморфизм ${\displaystyle f\colon V\to V}$ является умножением на 2:

${\displaystyle f(e_{1})=2e_{1}}$

Тогда ${\displaystyle D'(f)(k(e_{1}))={1 \over 2}e^{1}}$, в то время как ${\displaystyle k(f(e_{1}))=2e^{1}}$, то есть диаграмма некоммутативна.

Причина этого совершенно ясна — ${\displaystyle k}$ определяется совершенно случайно выбранным базисом. Если мы возьмём второе сопряжённое пространство ${\displaystyle D(D(V))}$, то в случае конечномерного пространства существует изоморфизм ${\displaystyle h\colon V\to D(D(V))}$ (а именно ${\displaystyle h(x)(f)=f(x)}$ для любого ${\displaystyle x\in V}$ и функционала ${\displaystyle f\in D(V)}$). В данном случае изоморфизм ${\displaystyle h}$ определяет естественное преобразование тождественного функтора ${\displaystyle I}$ в функтор ${\displaystyle D^{2}}$.

Полиморфные функции

Другой важнейший пример естественных преобразований — полиморфные функции (имеется в виду параметрический полиморфизм). Примером такого преобразования является функция reverse :: forall a . [a] -> [a], переворачивающая список элементов произвольного типа. В данном случае h(T) — это reverse_T :: [T] -> [T]; а функторы F и G — это List.

Сформулировать этот факт можно так: forall f :: a -> b : map f . reverse_a = reverse_b . map f. Это — одна из так называемых «бесплатных теорем».

Естественность всех параметрически полиморфных функций — это следствие теоремы Рейнольдса.

Литература

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии — М.: Мир, 1976.
• Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1966.
• Маклейн С. Категории для работающего математика — М.: Физматлит, 2004.
• Wadler, Philip — Theorems for free!