Воспитанник советской школы гандбола, первый тренер — Валерий Николаевич Захарчук. Талант Дуйшебаев был капитаном сборной СНГ (Объединённой команды), ставшей чемпионом Олимпийских игр 1992 года, и сборной России — чемпиона мира-1993. После распада СССР Талант переехал играть в Испанию, в 1995-м принял гражданство этой страны. С испанской сборной Дуйшебаев трижды участвовал на Олимпийских играх и завоевал две бронзовые медали — в Атланте и Сиднее. На последней Олимпиаде в его карьере — Афинах-2004 — сборная Испании потерпела поражение от немцев в четвертьфинале. Три раза за этот период команда Дуйшебаева становилась призёром чемпионатов Европы.
Основные вехи в клубной карьере Таланта Дуйшебаева связаны с командой «Кантабрия» из Сантандера, с которой он дважды побеждал в чемпионате Испании и Кубке кубков, и с клубом из небольшого испанского города Сьюдад-Реаль, куда он пришёл в 2001 году. В сезоне-2003/04 этот клуб впервые в своей истории стал чемпионом Испании, через год дошёл до финала Лиги чемпионов. Вскоре, в июне 2005 года, во дворце спорта «Дон Кихот» состоялся прощальный матч Дуйшебаева, объявившего о завершении карьеры игрока и переходе на тренерскую работу. В первый же год своей работы в качестве тренера Дуйшебаев привёл «Сьюдад-Реаль» к победе в Лиге чемпионов.
В сезоне-2006/07 вследствие травмы основного разыгрывающего «Сьюдад-Реаля» словенца Уроша Зормана 38-летний Дуйшебаев был вынужден вернуться на площадку. Великий гандболист быстро восстановил игровые кондиции — в ноябре 2006-го его блестящая игра способствовала победе клуба в Суперкубке Европы[3], а затем и в национальном чемпионате.
С 2008 года, когда Дуйшебаев вновь сосредоточился на тренерской работе, его «Сьюдад-Реаль» дважды выиграл Лигу чемпионов и одержал три победы в чемпионатах Испании. Два года работал с мадридским «Атлетико».
Жена — Ольга Шишкина, чемпионка мира по гандболу. Сыновья Таланта Дуйшебаева являются гандболистами: Алекс (род. 1992) и Даниэль (род. 1997) играют под руководством отца в «Виве Кельце». Оба — игроки сборной Испании.