Гипотезы Поллока

Гипотезы По́ллока — серия гипотез о фигурных числах, которые выдвинул в 1850 году британский математик-любитель Фредерик Поллок^[1][2][3]. Эти гипотезы можно рассматривать как дополнение теоремы Ферма о многоугольных числах, в том числе расширение теоремы на случай пространственных фигурных чисел. По состоянию на 2024 год доказаны только две из четырёх гипотез.

Первая гипотеза Поллока: любое натуральное число есть сумма не более чем девяти кубических чисел. Доказана в начале XX века. Обычно достаточно семи кубов, но 15 чисел (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454)^[4] требуют восьми, а двум числам (23 и 239) нужны все девять. Если, кроме сложения, допускать вычитание, то достаточно и пяти кубов^[5] (возможно, что даже четырёх, но это пока не доказано)^[6].

Вторая гипотеза Поллока: любое натуральное число есть сумма не более чем одиннадцати центрированных девятиугольных чисел^[7]. Была доказана в 2023 году^[8].

Третья гипотеза Поллока: любое натуральное число есть сумма не более чем пяти тетраэдральных чисел^[9]. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов. Обнаружено 241 число, для которых четырёх тетраэдральных чисел недостаточно (17, 27, 33, 52, 73, …)^[10], скорее всего, последнее из них равно 343867^[9].

Четвёртая гипотеза Поллока обобщает часть предыдущих: если ${\displaystyle m}$ — число вершин одного из пяти правильных многогранников (4, 6, 8, 12 или 20), то каждое натуральное число является суммой не более чем ${\displaystyle m+1}$ фигурных чисел, соответствующих этому многограннику, то есть^[3]:

(${\displaystyle m=4}$, тетраэдр) не более 5 тетраэдральных чисел;

(${\displaystyle m=6}$, октаэдр) не более 7 октаэдральных чисел;

(${\displaystyle m=8}$, куб) не более 9 кубических чисел;

(${\displaystyle m=12}$, икосаэдр) не более 13 икосаэдральных чисел;

(${\displaystyle m=20}$, додекаэдр) не более 21 додекаэдральных чисел.

В случае октаэдральных чисел была доказана для всех достаточно больших чисел.

Примечания

1. Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924. — JSTOR 111069.
2. Деза Е., Деза М., 2016, с. 231—232, 239, 337.
3. Leonard Eugene Dickson. History of the Theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis (англ.). — Dover, 2005. — P. 22—23. — ISBN 0-486-44233-0.
4. последовательность A018889 в OEIS
5. Математические задачи. Студенческие олимпиады.  (неопр.) Дата обращения: 16 декабря 2019. Архивировано 21 ноября 2021 года.
6. Деза Е., Деза М., 2016, с. 231—232.
7. Dickson, L. E. (2005), Diophantine Analysis, History of the Theory of Numbers, vol. 2, New York: Dover, pp. 22—23 Источник  (неопр.). Дата обращения: 16 июня 2019. Архивировано 21 ноября 2021 года..
8. Kureš, Miroslav (2023-10-27). "A Proof of Pollock's Conjecture on Centered Nonagonal Numbers". The Mathematical Intelligencer (англ.). doi:10.1007/s00283-023-10307-0. ISSN 0343-6993.
9. Weisstein, Eric W. Pollock's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
10. последовательность A000797 в OEIS

Литература

• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.