Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно . Эта модель известна как Модель Крамера' простых.
Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1[1].
Доказанные результаты о пробелах между простыми числами
С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,[2]
Гипотеза Крамера — Гранвилла
Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших интервалов между простыми, не превышающими . Гипотеза Шенкса несколько сильнее, чем гипотеза Крамера:[3]
М. Вольф[5] предложил формулу для максимального расстояния между последовательными простыми числами меньшими . Формула Вольфа выражает через функцию распределения простых чисел:
Томас Найсли вычислил много наибольших пробелов между простыми.[6] Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив отношение R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми:
Он писал: «Для известных максимальных пробелов между простыми R остаётся равным примерно 1,13», что показывает, как минимум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера не представляется лучшим приближением для имеющихся данных.
↑Westzynthius, Erik (1931), "Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind", Commentationes Physico-Mathematicae Helsingfors, 5: 1–37.