В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д., но в геометрии Римана нет параллельных прямых. В геометрии Римана, как и в сферической геометрии, справедливо утверждение: сумма углов треугольника больше двух прямых, имеет место формула
где — сумма углов треугольника, — радиус сферы, на которой реализована геометрия.
Отождествление противоположных точек сферы в геометрии Римана
Двумерная геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. При отождествлении противоположных точек сферы получается проективная плоскость, геометрия которой удовлетворяет аксиомам геометрии Римана.
Действительно, рассмотрим сферу с центром в точке в трёхмерном пространстве . Каждая точка вместе с центром сферы определяет некоторую прямую , то есть некоторую точку проективной плоскости . Сопоставление определяет отображение , большие круги на (прямые в сферической геометрии) переходят в прямые на проективной плоскости , при этом в одну точку переходят ровно две точки сферы: вместе с точкой и диаметрально противоположная ей точка (см. рисунок).
Евклидовы движения пространства , переводящие сферу в себя, задают некоторые определенные преобразования проективной плоскости , которые являются движениями геометрии Римана.
В геометрии Римана любые прямые пересекаются, поскольку это верно для проективной плоскости, и таким образом, в ней нет параллельных прямых.
Одно из отличий геометрии Римана от евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского состоит в том, что в ней нет естественного понятия «точка C лежит между точками A и B» (в сферической геометрии это понятие также отсутствует). Действительно, на прямую проективной плоскости отображается большой круг на сфере , причём две диаметрально противоположные точки сферы и переходят в одну точку . Аналогично, точки переходят в одну точку и точки переходят в одну точку .
Таким образом, с равным основанием можно считать, что точка лежит между и и что она не лежит между ними (см. рисунок).
Литература
Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007.
Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
Берже М. Геометрия. / Пер. с франц. — М.: Мир, 1984. — Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.