Гармоническая ёмкость

Гармоническая ёмкость — характеристика множества, измеряющая способность предмета данной формы удерживать электрический заряд.

Определение

Гармоническая ёмкость ${\displaystyle C(K)}$ компактного подмножества ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ определяется как точная нижняя грань интеграла

${\displaystyle C(K)=\inf _{u}\left\{\,\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x\,\right\}}$

по всем липшицевским функциям ${\displaystyle u\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ таким, что ${\displaystyle u(x)=1}$ для любого ${\displaystyle x\in K}$ и ${\displaystyle u(x)\to 0}$ при ${\displaystyle |x|\to \infty }$.

Замечания

• Точная верхняя грань достигается для функции ${\displaystyle u(x)}$, гармонической в дополнении ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K}$; отсюда название.

Свойства

• Гармоническая ёмкость монотонна по включению; то есть, если ${\displaystyle K\subset K'}$, то ${\displaystyle C(K)\leqslant C(K')}$.

Литература

• Е. Д. Соломенцев. Гармоническая емкость // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5: Слу — Я. — 1248 стб. : ил. — 150 000 экз.

См. также

• Электрическая ёмкость