Вселенная Фридмана

Вселе́нная Фри́дмана (метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера) — одна из космологических моделей, удовлетворяющих полевым уравнениям общей теории относительности (ОТО), первая из нестационарных моделей Вселенной. Получена Александром Фридманом в 1922. Модель Фридмана описывает однородную изотропную в общем случае нестационарную Вселенную с веществом, обладающую положительной, нулевой или отрицательной постоянной кривизной. Эта работа учёного стала первым основным теоретическим развитием ОТО после работ Эйнштейна 1915—1917 гг.

История открытия

Решение Фридмана было опубликовано в авторитетном физическом журнале Zeitschrift für Physik в 1922^[1] и 1924 (для Вселенной с отрицательной кривизной)^[2]. Решение Фридмана было вначале отрицательно воспринято Эйнштейном (который предполагал стационарность Вселенной и даже ввёл с целью обеспечения стационарности в полевые уравнения ОТО так называемый лямбда-член), однако затем он признал правоту Фридмана. Тем не менее, работы Фридмана (умершего в 1925) остались вначале незамеченными.

Нестационарность Вселенной была подтверждена открытием зависимости красного смещения галактик от расстояния (Эдвин Хаббл, 1929). Независимо от Фридмана, описываемую модель позднее разрабатывали Леметр (1927), Робертсон и Уокер (1935), поэтому решение полевых уравнений Эйнштейна, описывающее однородную изотропную Вселенную с постоянной кривизной, называют моделью Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера.

Эйнштейн не раз подтверждал, что начало теории расширяющейся Вселенной положил А. А. Фридман.

В творчестве А. А. Фридмана работы по теории относительности могли бы на первый взгляд показаться довольно внезапными. Ранее в основном он работал в области теоретической гидромеханики и динамической метеорологии.

Усвоение Фридманом ОТО было весьма интенсивным и в высшей степени плодотворным. Совместно с Фредериксом он взялся за капитальный труд «Основы теории относительности», в которой предполагалось изложить «достаточно строго с логической точки зрения» основы тензорного исчисления, многомерной геометрии, электродинамики, специального и общего принципа относительности.

Книга Фредерикса и Фридмана «Основы теории относительности» — это обстоятельное, подробное изложение теории относительности, основанное на весьма солидном математическом фундаменте геометрии общей линейной связности на многообразии произвольной размерности и теории групп. Исходной для авторов оказывается геометрия пространства-времени.

В 1923 г. была опубликована популярная книга Фридмана «Мир как пространство и время», посвящённая ОТО и ориентированная на довольно подготовленного читателя. В 1924 г. появилась статья Фридмана, рассматривавшая некоторые вырожденные случаи общей линейной связности, которые, в частности, обобщают перенос Вейля и, как считали авторы, «может быть, найдут применение в физике».

И, наконец, главным результатом работы Фридмана в области ОТО стала космологическая нестационарная модель, носящая теперь его имя.

По свидетельству В. А. Фока, в отношении Фридмана к теории относительности преобладал подход математика: «Фридман не раз говорил, что его дело — указать возможные решения уравнений Эйнштейна, а там пусть физики делают с этими решениями, что они хотят»^[3].

Изначально, уравнения Фридмана использовали уравнения ОТО с нулевой космологической постоянной. И модели, основанные на них, безоговорочно доминировали (помимо короткого всплеска интереса к другим моделям в 1960-е гг.) вплоть до 1998 года^[4]. В тот год вышли две работы, использовавшие в качестве индикаторов расстояния сверхновые типа Ia. В них было убедительно показано, что на больших расстояниях закон Хаббла нарушается и Вселенная расширяется ускоренно, что требует наличия тёмной энергии, известные свойства которой соответствуют Λ-члену.

Современная модель, так называемая «модель ΛCDM», по-прежнему является моделью Фридмана, но уже с учётом как космологической постоянной, так и тёмной материи.

Метрика Фридмана — Робертсона — Уокера

Вид символов Кристоффеля
${\displaystyle \Gamma _{ij}^{0}=a{\dot {a}}{\tilde {g}}_{ij},\quad \Gamma _{0j}^{i}={\frac {\dot {a}}{a}}\delta _{ij},\quad \Gamma _{jl}^{i}={\tilde {\Gamma }}_{jl}^{i}=k{\tilde {g}}_{jl}x^{i}}$
Производные выражения от символов Кристоффеля
${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Gamma _{ij}^{0}}{\partial t}}&={\tilde {g}}_{ij}{\frac {d}{dt}}({\dot {a}}a),&\Gamma _{ik}^{0}\Gamma _{j0}^{k}&={\tilde {g}}_{ij}{\dot {a}}^{2},&\Gamma _{ij}^{0}\Gamma _{0l}^{l}&=3{\tilde {g}}_{ij}{\dot {a}}^{2},\\{\frac {\partial \Gamma _{i0}^{i}}{\partial t}}&=3{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right),&\Gamma _{0j}^{i}\Gamma _{i0}^{j}&=3\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

Геометрия однородной изотропной Вселенной — это геометрия однородного и изотропного трёхмерного многообразия. Метрикой таких многообразий является метрика Фридмана — Робертсона — Уокера (FWT)^[5]:

${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-a^{2}(t)\,d\chi ^{2},}$

где χ — так называемое сопутствующие расстояние или конформное, не зависящее от времени, в отличие от масштабного фактора a, t — время в единицах скорости света, s — интервал.

${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-a^{2}(t)\left(dx^{2}+k{\frac {(xdx)^{2}}{1-kx^{2}}}\right),}$

где k принимает значение:

k = 0 для трёхмерной плоскости,

k = 1 для трёхмерной сферы,

k = −1 для трёхмерной гиперсферы,

${\displaystyle x=\{x_{1},x_{2},x_{3}\}}$ — трёхмерный радиус-вектор в квазидекартовых координатах.

Замечание

Существуют всего три типа трёхмерных многообразий: трёхмерная сфера, трёхмерная гиперсфера и трёхмерная плоскость.

Метрика на трёхмерной плоскости даётся простым выражением

${\displaystyle ds^{2}=(dx)^{2}.}$

Чтоб задать метрику трёхмерной сферы, необходимо ввести 4-мерное евклидово пространство:

${\displaystyle ds^{2}=(dx_{0})^{2}+(dx)^{2}}$

и добавить уравнение сферы:

${\displaystyle a^{2}=(x_{0})^{2}+x^{2}.}$

Гиперсферическая метрика уже определяется в 4-мерном пространстве Минковского:

${\displaystyle ds^{2}=-(dx_{0})^{2}+(dx)^{2}.}$

И точно так же, как для сферы, нужно добавить уравнение гиперболоида:

${\displaystyle a^{2}=(x_{0})^{2}-x^{2}.}$

FWT-метрика — не что иное, как сведение всех вариантов воедино и приложение к пространству-времени.

Или в тензорной записи:

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu },}$

где компоненты метрического тензора равны:

${\displaystyle g_{ij}=a^{2}(t)\left(\delta _{ij}+k{\frac {x^{i}x^{j}}{1-kr^{2}}}\right),\quad g_{i0}=0,\quad g_{00}=-1,}$

где ${\displaystyle i,j}$ пробегают значения 1…3, ${\displaystyle r^{2}=(x^{1})^{2}+(x^{2})^{2}+(x^{3})^{2}}$, а ${\displaystyle x^{0}}$ — временна́я координата.

Основные уравнения

Если же выражение для метрики подставить в уравнения ОТО для идеальной жидкости, то получим следующую систему уравнений:

Название	СИ	Естественная система единиц
Уравнение энергии	${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G\rho }{3}}-\left({\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$	${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G\rho }{3}}-\left({\frac {k}{a^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda }{3}}}$
Уравнение движения	${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3P}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +3p\right)+{\frac {\Lambda }{3}}}$
Уравнение неразрывности	${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}=-3H\left(\rho +{\frac {P}{c^{2}}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}=-3H\left(\rho +p\right)}$

Вывод уравнений движения и энергии^[6]

Запишем полевые уравнения Эйнштейна в следующей форме:

${\displaystyle R_{\mu \nu }=-8\pi GS_{\mu \nu }}$,

где R_μν - тензор Риччи:

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {\partial \Gamma _{\lambda \mu }^{\lambda }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}{\partial x^{\lambda }}}+\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }\Gamma _{\nu \lambda }^{\sigma }-\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\Gamma _{\lambda \sigma }^{\sigma }}$,

a S_μν записывается в терминах энергии импульса:

${\displaystyle S_{\mu \nu }=T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T_{~\lambda }^{\lambda }}$

Т.к. в метрике Фридмана-Робертсона-Уокера все афинные связности с двумя или тремя временными индексами обнуляются, то

${\displaystyle R_{ij}={\frac {\partial \Gamma _{ki}^{k}}{\partial x^{j}}}-\left[{\frac {\partial \Gamma _{ij}^{k}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial \Gamma _{ij}^{0}}{\partial t}}\right]+\Gamma _{ik}^{0}\Gamma _{j0}^{k}+\Gamma _{i0}^{k}\Gamma _{jk}^{0}+\Gamma _{ik}^{l}\Gamma _{jl}^{k}-(\Gamma _{ij}^{k}\Gamma _{kl}^{l}+\Gamma _{ij}^{0}\Gamma _{0l}^{l})}$,

${\displaystyle R_{00}={\frac {\partial \Gamma _{i0}^{i}}{\partial t}}+\Gamma _{0j}^{i}\Gamma _{0i}^{j}}$

Подставим в ненулевые компоненты тензора Риччи выражения для символов Кристоффеля:

${\displaystyle R_{ij}={\tilde {R}}_{ij}-2{\dot {a}}{\tilde {g}}_{ij}-a{\ddot {a}}{\tilde {g}}_{ij}}$

${\displaystyle R_{00}=3{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)+3\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}=3{\frac {\ddot {a}}{a}}}$,

где ${\displaystyle {\tilde {R}}_{ij}}$ - чисто пространственный тензор Риччи:

${\displaystyle {\tilde {R}}_{ij}={\frac {\partial \Gamma _{ki}^{k}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial \Gamma _{ji}^{k}}{\partial x^{k}}}+\Gamma _{ik}^{l}\Gamma _{jl}^{k}-\Gamma _{ij}^{l}\Gamma _{kl}^{k}}$

Из всех тех же соотношений для выбранной метрики:

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=kx^{k}{\tilde {g}}_{ij}}$

Тогда, в точке x=0 чисто пространственный тензор Риччи равен:

${\displaystyle {\tilde {R}}_{ij}=k\delta _{ij}-3k\delta _{ij}=-2k\delta _{ij}}$

Но в точке x=0 метрика это просто δ_ij, т.е. в начале координат имеется следующее соотношение двух три-тензоров:

${\displaystyle {\tilde {R}}_{ij}=-2k{\tilde {g}}_{ij}}$

И в силу однородности метрики Фридмана-Робетсона-Уокера это соотношение справедливо при любом преобразовании координат, т.е. соотношение выполняется во всех точках пространства, тогда можно записать:

${\displaystyle R_{ij}=(-2k-2{\dot {a}}-a{\ddot {a}}){\tilde {g}}_{ij}}$

Компоненты тензора энергии-импульса в нашей метрике будут следующими:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}T_{00}=\rho ,&T_{i0}=0,&T_{ij}=a^{2}p{\tilde {g}}_{ij}\end{array}}}$

Тогда:

${\displaystyle S_{ij}=T_{ij}-{\frac {1}{2}}{\tilde {g}}_{ij}a^{2}(T_{~k}^{k}+T_{~0}^{0})=a^{2}p{\tilde {g}}_{ij}-{\frac {1}{2}}a^{2}{\tilde {g}}_{ij}(3p-\rho )={\frac {1}{2}}(\rho -p)a^{2}{\tilde {g}}_{ij}}$,

${\displaystyle S_{00}=T_{00}+{\frac {1}{2}}(T_{~k}^{k}+T_{~0}^{0})=\rho +{\frac {1}{2}}(3p-\rho )={\frac {1}{2}}(3p+\rho )}$

${\displaystyle S_{i0}=0}$

После подстановки уравнения Эйнштейна примут вид:

${\displaystyle -{\frac {2k}{a^{2}}}-{\frac {2{\dot {a}}^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\ddot {a}}{a}}=-4\pi G(\rho -p)}$

${\displaystyle {\frac {3{\ddot {a}}}{a}}=-4\pi G(3p+\rho )}$

Для перехода к уравнениям с Λ-членом необходимо произвести подстановку:

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho +{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$

${\displaystyle p\rightarrow p-{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$

И после элементарных преобразований приходим к итоговому виду.

Вывод уравнения неразрывности^[7]

Уравнение неразрывности следует из условия ковариантного сохранения тензора энергии-импульса:

${\displaystyle \nabla _{\nu }T^{\nu \mu }=0}$

Полагая здесь ν=0:

${\displaystyle \nabla _{\nu }T^{\nu \mu }\equiv \partial _{\nu }T^{\nu 0}+\Gamma _{\nu \sigma }^{\nu }T^{\sigma 0}+\Gamma _{\nu \sigma }^{0}T^{\nu \sigma }=0}$

Явно запишем ненулевые компоненты тензора энергии-импульса:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}T^{00}=\rho ,&T^{ij}={\frac {1}{a^{2}}}p{\tilde {g}}^{ij},&T_{ij}=a^{2}p{\tilde {g}}_{ij}\end{array}}}$

подставив эти значения и воспользовавшись выражениями для символов Кристоффеля в FWT-метрике придём к конечному виду уравнения.

где Λ — космологическая постоянная, ρ — средняя плотность Вселенной, P, p — давление, выраженная в Си и естественной системы единиц соответственно, с — скорость света.

Приведённая система уравнений допускает множество решений, в зависимости от выбранных параметров. На самом деле значение параметров фиксированы только на текущий момент и с течением времени эволюционируют, поэтому эволюцию расширения описывает совокупность решений^[5].

Объяснение закона Хаббла

Допустим есть источник, расположенный в сопутствующей системе на расстоянии r₁ от наблюдателя. Приёмная аппаратура наблюдателя регистрирует фазу приходящей волны. Рассмотрим два интервала времени δt₁ и δt₂ между точками с одной и той же фазой^[5]:

${\displaystyle {\frac {\delta t_{1}}{\delta t_{0}}}={\frac {\nu _{0}}{\nu _{1}}}\equiv 1+z}$

С другой стороны для световой волны в принятой метрике выполняется равенство:

${\displaystyle dt=\pm a(t){\frac {dr}{\sqrt {1-kr^{2}}}}}$

Проинтегрировав это уравнение получим:

${\displaystyle \int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {dt}{a(t)}}=\int \limits _{0}^{r_{c}}{\frac {dr}{\sqrt {1-kr^{2}}}}}$

Учитывая что в сопутствующих координатах r не зависит от времени, и малость длины волны относительно радиуса кривизны Вселенной, получим соотношение:

${\displaystyle {\frac {\delta t_{1}}{a(t_{1})}}={\frac {\delta t_{0}}{a(t_{0})}}}$

Если теперь его подставить в первоначальное соотношение:

${\displaystyle 1+z={\frac {a(t_{0})}{a(t_{1})}}}$

Разложим a(t) в ряд Тейлора с центром в точке a(t₁) и учтём члены только первого порядка:

${\displaystyle a(t)=a(t_{1})+{\dot {a}}(t_{1})(t-t_{1})}$

После приведения членов и домножения на c:

${\displaystyle cz={\frac {{\dot {a}}(t_{1})}{a(t_{1})}}c(t-t_{1})=HD}$

Соответственно, константа Хаббла:

${\displaystyle H={\frac {{\dot {a}}(t_{1})}{a(t_{1})}}}$

Следствия

Определение кривизны пространства. Понятие критической плотности

Подставив в уравнение энергии, записанного для текущего момента, выражение для постоянной Хаббла(H₀), приведём его к виду:

${\displaystyle 1=\Omega _{m}+\Omega _{k}+\Omega _{\Lambda }}$,

где ${\displaystyle \Omega _{m}={\frac {\rho }{\rho _{cr}}}}$, ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }={\frac {8\pi G\Lambda c^{2}}{\rho _{cr}}}}$, ${\displaystyle \rho _{cr}={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}}}$, ${\displaystyle \Omega _{k}=-{\frac {kc^{2}}{a^{2}H^{2}}},}$
плотность вещества и тёмной энергии, отнесённая к критической, сама критическая плотность и вклад кривизны пространства соответственно. Если переписать уравнение следующим образом

${\displaystyle \Omega _{k}=1-(\Omega _{m}+\Omega _{\Lambda })=1-\left({\frac {\rho +\rho _{\Lambda }}{\rho _{cr}}}\right)}$,

то станет очевидно, что:

${\displaystyle k={\begin{cases}-1,&\rho +\rho _{\Lambda }<\rho _{cr}\\0,&\rho +\rho _{\Lambda }=\rho _{cr}\\1,&\rho +\rho _{\Lambda }>\rho _{cr}\end{cases}}}$

Эволюция плотности вещества. Уравнение состояния

Стадия	Эволюция масштабного фактора	Параметр Хаббла
Инфляционная	${\displaystyle a\propto e^{Ht}}$	${\displaystyle H^{2}={\frac {8\pi }{3}}{\frac {\rho _{vac}}{M_{pl}^{2}}}}$
Радиационное доминирование p=ρ/3	${\displaystyle a\propto t^{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle H={\frac {1}{2t}}}$
Пылевая стадия p=0	${\displaystyle a\propto t^{\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle H={\frac {2}{3t}}}$
${\displaystyle \Lambda }$-доминирование p=-ρ	${\displaystyle a\propto e^{Ht}}$	${\displaystyle H^{2}={\frac {8\pi }{3}}G\rho _{\Lambda }}$

Подставив в уравнение неразрывности уравнение состояния в виде

${\displaystyle p=\omega \rho }$(1)

Получим его решение:

${\displaystyle p\propto a^{-3-3\omega }\Rightarrow \rho \propto a^{-3-3\omega }}$

Для разных случаев эта зависимость выглядит по-разному:

Случай холодного вещества (например пыль) p = 0

${\displaystyle \rho \propto a^{-3}}$

Случай горячего вещества (например излучение) p = ρ/3

${\displaystyle \rho \propto a^{-4}}$

Случай энергии вакуума ${\displaystyle p=-\rho }$

${\displaystyle \rho =const}$

Благодаря этому, влиянием Ω_k на ранних этапах можно пренебречь, то есть считать Вселенную плоской (так как k=0. Одновременно, разная зависимость плотности компонентов от масштабного фактора позволяет выделить различные эпохи, когда расширение определяется только тем или иным компонентом, представленных в таблице.

Также если ввести некую квинтэссенцию из плотности тёмной энергии и плотности барионной и принять, что оно подчиняется выражению (1), то пограничным значением является

${\displaystyle \omega _{0}=-{\frac {1}{3}}}$

При превышении этого параметра расширение замедляется, при меньшем — ускоряется.

Динамика расширения

Λ < 0

Если значение космологической постоянной отрицательно, то действуют только силы притяжения и более никаких. Правая часть уравнения энергии будет неотрицательной только при конечных значениях R. Это означает, что при некотором значении R_c Вселенная начнёт сжиматься при любом значении k и вне зависимости от вида уравнения состояния^[8].

Λ = 0

В случае, если космологическая постоянная равна нулю, то эволюция целиком и полностью зависит от начальной плотности вещества^[5]:

${\displaystyle \left({\frac {da}{dt}}\right)^{2}=G{\frac {8\pi \rho _{0}a_{0}^{3}}{3a}}-a_{0}^{2}H_{0}\left(\rho _{0}-{\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}}\right).}$

Если ${\displaystyle \rho _{0}=\rho _{cr}}$, то расширение продолжается бесконечно долго, в пределе с асимптотически стремящейся к нулю скоростью. Если плотность больше критической, то расширение Вселенной тормозится и сменяется сжатием. Если меньше, то расширение идёт неограниченно долго с ненулевым пределом H.

Λ > 0

Если Λ>0 и k≤0, то Вселенная монотонно расширяется, но в отличие от случая с Λ=0 при больших значениях R скорость расширения растёт^[8]:

${\displaystyle R\propto exp[(\Lambda /3)^{1/2}t].}$

При k=1 выделенным значением является ${\displaystyle \Lambda _{c}=4\pi G\rho }$. В этом случае существует такое значение R, при котором ${\displaystyle R'=0}$ и ${\displaystyle R''=0}$, то есть Вселенная статична.

При Λ>Λ_c скорость расширения убывает до какого-то момента, а потом начинает неограниченно возрастать. Если Λ незначительно превышает Λ_c, то на протяжении некоторого времени скорость расширения остаётся практически неизменной.

В случае Λ<Λ_c всё зависит от начального значения R, с которого началось расширения. В зависимости от этого значения Вселенная либо будет расширяться до какого-то размера, а потом сожмётся, либо будет неограниченно расширяться.

ΛCDM

Основная статья: Модель Лямбда-CDM

Космологические параметры по данным WMAP и Planck
	WMAP[9]	Planck[10]
Возраст Вселенной t0, млрд лет	13,75±0,13	13,81±0,06
Постоянная Хаббла H0, (км/с)/Мпк	71,0±2,5	67,4±1,4
Плотность барионной материи Ωbh^2	0,0226±0,0006	0,0221±0,0003
Плотность тёмной материи Ωсh^2	0,111±0,006	0,120±0,003
Общая плотность Ωt	1,08+0,09 -0,07	1,0±0,02
Плотность барионной материи Ωb	0,045±0,003
Плотность тёмной энергии ΩΛ	0,73±0,03	0,69±0,02
Плотность тёмной материи Ωc	0,22±0,03

ΛCDM — это современная модель расширения, являющаяся моделью Фридмана, включающая в себя помимо барионной материи, тёмную материю и тёмную энергию

Возраст Вселенной

Основная статья: Возраст Вселенной

Теоретическое описание

Время с начала расширения, называемая также возрастом Вселенной^[11] определяется следующим образом:

Вывод

С учётом эволюции плотности➤ запишем общую плотность в следующем виде:

${\displaystyle \rho =\rho _{c}\left(\Omega _{\Lambda }+\Omega _{k}\left({\frac {a_{0}}{a}}\right)^{2}+\Omega _{m}\left({\frac {a_{0}}{a}}x\right)^{3}+\Omega _{l}\left({\frac {a_{0}}{a}}\right)^{4}\right)}$

Подставив это в уравнение энергии, получим искомое выражение

${\displaystyle t={\frac {1}{H_{0}-1}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {dx}{x{\sqrt {\Omega _{\Lambda }+\Omega _{k}x^{-2}+\Omega _{d}x^{-3}+\Omega _{l}x^{-4}}}}},x={\frac {a}{a_{0}}}}$

Наблюдательные подтверждения сводятся к подтверждению самой модели расширения с одной стороны и предсказываемой ею моменты начала различных эпох, а с другой, чтоб возраст самых старых объектов не превышал получающийся из модели расширения возраст всей Вселенной.

Данные наблюдений

Не существует прямых измерений возраста Вселенной, все они измеряются косвенно. Все методы можно разделить на две категории^[12]:

1. Определение возраста на основе моделей эволюции у самых старых объектов: старых шаровых скоплений и белых карликов.

   В первом случае метод основан на факте, что звезды в шаровом скоплении все одного возраста, опираясь на теорию звёздной эволюции, строятся изохроны на диаграмме «цвет — звёздная величина», то есть кривые равного возраста для звёзд различной массы. Сопоставляя их с наблюдаемым распределением звёзд в скоплении, можно определить его возраст.

   Метод имеет ряд своих трудностей. Пытаясь их решить, разные команды, в разное время получали разные возраста для самых старых скоплений, от ~8 млрд лет^[13], до ~ 25 млрд лет^[14].

   Белые карлики имеют приблизительно одинаковую массу звёзд-предшественниц, а значит — и приблизительно одинаковую зависимость температуры от времени. Определив по спектру белого карлика его абсолютную звёздную величину на данный момент и зная зависимость время—светимость при остывании, можно определить возраст карлика^[15]

   Однако данный подход связан как с большими техническими трудностями, — белые карлики крайне слабые объекты, — необходимо крайне чувствительные инструменты, чтоб их наблюдать. Первым и пока единственным телескопом, на котором возможно решение данной задачи является космический телескоп им. Хаббла. Возраст самого старого скопления по данным группы, работавшей с ним: ${\displaystyle 12,7\pm 0,7}$ млрд лет^[15], однако, результат оспаривается. Оппоненты указывают, что не были учтены дополнительные источники ошибок, их оценка ${\displaystyle 12,4_{-1,5}^{+1,8}}$ млрд лет^[16].

2. Ядерный метод. В его основе лежит тот факт, что разные изотопы имеют разный период полураспада. Определяя текущие концентрации различных изотопов у первичного вещества можно определить возраст элементов в неё входящих.

   Так у звезды CS31082-001, принадлежащей звёздному населению типа II, были обнаружены линии и измерены концентрации тория и урана в атмосфере. Эти два элемента имеют различный период полураспада, поэтому со временем их соотношение меняется, и если как-то оценить первоначальное соотношение обильностей, то можно определить возраст звезды. Оценить можно двояким способом: из теории r-процессов, подтверждённой как лабораторными измерениями, так и наблюдениями Солнца; или можно пересечь кривую изменения концентраций за счёт распада и кривую изменения содержания тория и урана в атмосферах молодых звёзд за счёт химической эволюции Галактики. Оба метода дали схожие результаты: 15,5±3,2^[17] млрд лет получены первым способом, ${\displaystyle 14{,}5_{+2{,}2}^{-2{,}8}}$^[18] млрд лет — вторым.

Виды расстояний.

Сравнение кривых для различных видов расстояний

Теоретическое описание

В космологии на больших расстояниях непосредственно измеряемых величин всего три — звёздная величина, характеризующая блеск, угловой размер и красное смещение. Поэтому, для сравнения с наблюдениями вводятся две зависимости:

• Угловой размер от красного смещения, называемого угловым расстоянием:

Вывод

По определению:

${\displaystyle d_{a}={\frac {D}{\delta \theta }}}$

D - собственный размер объекта перпендикулярно к лучу зрения, Δθ - видимый угловой размер. Рассмотрим метрику в сферических координатах:

${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-a^{2}(t_{1})\left({\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}d\Omega ^{2}\right)}$

Размер объекта много меньше расстояния до него, поэтому:

${\displaystyle ds^{2}=-a^{2}(t_{1})r^{2}d\Omega ^{2}}$.

Вследствие малости углового размера dΩ можно принять равным Δθ. Перейдя в метрику текущего момента времени получим конечное выражение

${\displaystyle d_{a}={\frac {a(t_{0})\chi }{1+z}}}$

• Блеск от красного смещения — называемого фотометрическим расстоянием:

Вывод

По определению:

${\displaystyle d_{l}={\sqrt {\frac {L}{4\pi F}}}}$

Поток излучения от некоторого источника уменьшается из-за геометрического фактора (${\displaystyle 4\pi (a(t)\chi )^{2}}$), вторым фактором является уменьшение длины фотона в ${\displaystyle (1+z)}$ раз и третий фактор - уменьшения частоты прихода отдельных фотонов из-за растяжения времени, также в ${\displaystyle (1+z)}$ раз. В итоге получаем для интегрального потока:

${\displaystyle F={\frac {L}{4\pi (a(t)\chi )^{2}(1+z)^{2}}}}$

После чего путём простых преобразований получаем исходный вид

${\displaystyle d_{l}=(1+z)^{2}d_{a}}$

Также в научно-популярной литературе можно встретить ещё три вида расстояний: расстояние между объектами на текущей момент, расстояние между объектами на момент испускания принятого нами света и расстояние, которое прошёл свет.

Данные наблюдений

См. также: Шкала расстояний

Для измерения фотометрического расстояния необходим источник известной светимости, так называемая стандартная свеча. Для космологических масштабов в качестве таковой берутся сверхновые типа Ia. Они возникают как следствие термоядерного взрыва белого карлика приблизившегося к пределу Чандрасекара.

Сфера Хаббла. Горизонт частиц. Горизонт событий

Также преимущественно в научно-популярной литературе используется термин «сфера Хаббла» — это сфера, чей радиус равен расстоянию, при котором скорость убегания равна скорости света^[19][20].

См. также

• Большой взрыв
• Жорж Леметр
• Решения уравнений Эйнштейна
• Уравнение Фридмана (геофизическая гидродинамика)
• Уравнение Фридмана

Примечания

1. Friedmann, A: Über die Krümmung des Raumes (О кривизне пространства), Z. Phys. 10 (1922) 377—386.
2. Friedmann, A: Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes (О возможности Вселенной с постоянной отрицательной кривизной пространства), Z. Phys. 21 (1924) 326—332.
3. Фок В.А. Работы А. А. Фридмана по теории тяготения Эйнштейна (рус.) // Успехи физических наук : журнал. — Российская академия наук, 1963. — Т. LXXX, № 3. — С. 353—356. Архивировано 18 июля 2018 года.
4. О непопулярности моделей с космологической постоянной красноречиво говорит тот факт, что Вайнберг в своей книге «Космология и гравитация» (на русском языке издана в 1975 году) параграф о моделях с космологической постоянной относит в раздел вместе с наивными моделями и моделями стационарной Вселенной, отводя на описание 4 страницы из 675.
5. • А. В. Засов., К. А. Постнов. Общая астрофизика. — Фрязино: Век 2, 2006. — С. 421—432. — 496 с. — ISBN 5-85099-169-7.
   • Д. С. Горбунов, В. А. Рубаков. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва. — Москва: ЛКИ, 2008. — С. 45—80. — 552 с. — ISBN 978-5-382-00657-4.
   • Стивен Вайнберг. Космология. — Москва: УРСС, 2013. — С. 21—81. — 608 с. — ISBN 978-5-453-00040-1.
6. Стивен Вайнберг. Космология. — Москва: УРСС, 2013. — С. 57—59. — 608 с. — ISBN 978-5-453-00040-1.
7. Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва. — Москва: ЛКИ, 2008. — С. 63. — 552 с. — ISBN 978-5-382-00657-4.
8. Майкл Роуэн-Робинсон. Космология = Cosmology / Перевод с английского Н.А. Зубченко. Под научной редакцией П.К. Силаева. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. — С. 96—102. — 256 с. — ISBN 976-5-93972-659-7.
9. Jarosik, N., et.al. (WMAP Collaboration). Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Sky Maps, Systematic Errors, and Basic Results  (неопр.) (PDF). nasa.gov. Дата обращения: 4 декабря 2010. Архивировано 16 августа 2012 года. (from NASA’s WMAP Documents Архивная копия от 30 ноября 2010 на Wayback Machine page)
10. Planck Collaboration. Planck 2013 results. XVI. Cosmological parameters. — arXiv:1303.5076.
11. Астронет > Вселенная  (неопр.). Дата обращения: 27 мая 2015. Архивировано 27 мая 2015 года.
12. Donald D. Clayton. COSMOLOGY, COSMOCHRONOLOGY  (неопр.).
13. Gratton Raffaele G., Fusi Pecci Flavio, Carretta Eugenio и др. Ages of Globular Clusters from HIPPARCOS Parallaxes of Local Subdwarfs. — Astrophysical Journal, 1997.
14. Peterson Charles J. Ages of globular clusters. — Astronomical Society of the Pacific, 1987.
15. Harvey B. Richer et al. Hubble Space Telescope Observations of White Dwarfs in the Globular Cluster M4. — Astrophysical Journal Letters, 1995.
16. Moehler S, Bono G. White Dwarfs in Globular Clusters. — 2008. Архивировано 6 августа 2017 года.
17. Schatz Hendrik, Toenjes Ralf, Pfeiffer Bernd. Thorium and Uranium Chronometers Applied to CS 31082-001. — The Astrophysical Journal, 2002.
18. N. Dauphas. URANIUM-THORIUM COSMOCHRONOLOGY. — 2005. Архивировано 19 мая 2014 года.
19. Сергей Попов. Сверхсветовое разбегание галактик и горизонты Вселенной: путаница в тонкостях  (неопр.). Дата обращения: 10 июля 2015. Архивировано 10 ноября 2014 года.
20. TM Davis & CH Linewater. Expanding Confusion: common misconceptions of cosmological horizons and the superluminal expansion of the universe. — 2003. — arXiv:astro-ph/0310808.

Ссылки

• Harrison, E. R. (1967), "Classification of uniform cosmological models", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 137: 69—79, Bibcode:1967MNRAS.137...69H, doi:10.1093/mnras/137.1.69
• D'Inverno, Ray (1992), Introducing Einstein's Relativity, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859686-8