Бифуркация Андронова — Хопфа

Бифуркация Андронова — Хопфа, Собственный вектор Якоби Комплексная плоскость

В теории динамических систем, бифуркация Андронова — Хопфа — локальная бифуркация векторного поля на плоскости, в ходе которой особая точка-фокус теряет устойчивость при переходе пары её комплексно-сопряжённых собственных значений через мнимую ось. При этом либо из особой точки рождается небольшой устойчивый предельный цикл (мягкая потеря устойчивости), либо, наоборот, небольшой неустойчивый предельный цикл в момент бифуркации схлопывается в эту точку, и её бассейн отталкивания после бифуркации имеет отделённый от нуля размер (жёсткая потеря устойчивости).

Для того, чтобы эта бифуркация имела место, достаточно в дополнение к переходу собственных значений через мнимую ось наложить на систему некоторые условия типичности.

Бифуркация Андронова — Хопфа и седлоузловая бифуркация — единственные локальные бифуркации векторных полей на плоскости, возникающие в типичных однопараметрических семействах.

Определение

Бифуркация Андронова — Хопфа, Пространство состояний

Бифуркацией Андронова — Хопфа называют нормальную форму^[англ.]

${\displaystyle {\cfrac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+(\alpha +i\beta )|z|^{2}),}$

где

• ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ — комплексное число,
• ${\displaystyle \lambda }$ — параметр,
• ${\displaystyle \alpha }$ — коэффициент Ляпунова.

Если ${\displaystyle \alpha }$ отрицателен при положительном ${\displaystyle \lambda }$, то бифуркация суперкритическая, если положителен при отрицательном ${\displaystyle \lambda }$ — субкритическая.

Мягкая и жёсткая потери устойчивости

Термины «мягкая» и «жёсткая» связаны с описанием поведения системы с точки зрения «внешнего» наблюдателя, при медленной (в сравнении с динамикой системы) эволюции параметра системы и зашумлении системы малыми случайными возмущениями. В случае мягкой потери устойчивости решение перейдёт из положения равновесия (ставшего неустойчивым) в предельный цикл — наблюдатель будет видеть периодическое «дрожание» состояния системы недалеко от положения равновесия, которое будет усиливаться с ростом параметра. Однако, в масштабе времени «движения параметра», «отклонения» решения нарастают непрерывно. Напротив того, при жёсткой потере устойчивости решение «резко» срывается и уходит за границу бассейна отталкивания исчезнувшего предельного цикла: с точки зрения наблюдателя, живущего в масштабе времени, в котором изменяется параметр, решение скачком поменяло режим.

Литература

• В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций // Динамические системы—5. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1986. — Т. 5. — С. 5—218. — ISSN 0233-6723.
• В. И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, с. 243. М.: Наука, 1978.