Бент-функция

Бинарные бент-функции с расстоянием Хэмминга, равным 1 и нелинейностью ${\displaystyle 2^{2-1}-2^{{\frac {2}{2}}-1}=2-1=1}$

Нелинейность бент-функции ${\displaystyle x_{1}x_{2}~+~x_{3}x_{4}}$ равна ${\displaystyle 2^{4-1}-2^{{\frac {4}{2}}-1}=8-2=6}$

Бент-функция (от англ. bent — «изогнутый, наклонённый»^[1], ^[2]) — булева функция с чётным числом переменных, для которой расстояние Хэмминга от множества аффинных булевых функций с тем же числом переменных максимально. Бент-функции в этом смысле обладают максимальной степенью нелинейности среди всех функций с данным числом переменных и благодаря этому широко применяются в криптографии для создания шифров, максимально устойчивых к методам линейного и дифференциального криптоанализа^[1].

В русскоязычной литературе используется близкий по смыслу термин «максимально нелинейная функция», число переменных таких функций не ограничивается чётными числами. Максимально нелинейная функция с чётным числом переменных является бент-функцией ^[1].

Определения

Расстояние Хэмминга для двух булевых функций n переменных — количество различий в значениях этих функций на полном множестве из 2ⁿ наборов переменных.

Аффинная (линейная) булева функция — булева функция, полином Жегалкина которой не имеет нелинейных членов, то есть членов, представляющих собой конъюнкцию нескольких переменных.

Степень нелинейности булевой функции deg(f) — число переменных в самом длинном слагаемом её полинома Жегалкина.

Нелинейность булевой функции N(f) — расстояние Хэмминга от данной функции до множества всех аффинных функций.

История

Бент-функции были введены в 1960-х годах Оскаром Ротхаузом (1927—2003), который в это время (с 1960 по 1966 годы) работал Институте оборонного анализа (IDA), где занимался криптографическими исследованиями. Его первая работа по бент-функциям относится к 1966 году^[3], однако она была засекречена и в открытой печати появилась только в 1976 году^[4].

В 1960-х годах В.А.Елисеев и О.П.Степченков занимались исследованием бент-функций в СССР, однако их работы до сих пор засекречены^[1]. Известно, что они называли бент-функции "минимальными функциями" и предложили конструкцию МакФарланда еще в 1962 году.

Свойства

Нелинейность бент-функций с числом переменных n (n — чётное) определяется соотношением ^[1], ^[2]:

${\displaystyle N(f)=2^{n-1}-2^{{\frac {n}{2}}-1}}$.

Для максимально нелинейных функций с нечётным числом переменных точное выражение для нелинейности неизвестно^[1].

Примеры бент-функций

Ниже приведены примеры бент-функций четырёх, шести и восьми переменных^[5].

${\displaystyle n=4:f_{1}(X)=x_{1}x_{3}\oplus x_{2}x_{4};N(f_{1})=6;}$

${\displaystyle n=6:f_{2}(X)=x_{1}x_{2}x_{3}\oplus x_{1}x_{4}\oplus x_{2}x_{5}\oplus x_{3}x_{6};N(f_{2})=28;}$

${\displaystyle n=8:f_{3}(X)=x_{1}x_{2}x_{3}\oplus x_{2}x_{4}x_{5}\oplus x_{1}x_{2}\oplus x_{1}x_{4}\oplus x_{2}x_{6}\oplus x_{3}x_{5}\oplus x_{4}x_{5}\oplus x_{7}x_{8};N(f_{3})=120;}$

${\displaystyle n=8:f_{4}(X)=x_{1}x_{2}x_{3}\oplus x_{2}x_{4}x_{5}\oplus x_{3}x_{4}x_{6}\oplus x_{1}x_{4}\oplus x_{2}x_{6}\oplus x_{3}x_{4}\oplus x_{3}x_{5}\oplus x_{3}x_{6}\oplus x_{4}x_{5}\oplus x_{4}x_{6}\oplus x_{7}x_{8};N(f_{4})=120.}$

Монография

В книге ^[1] приведен детальный обзор результатов в области бент-функций. Рассматривается история открытия бент-функций, описываются их приложения в криптографии и дискретной математике. Исследуются основные свойства и эквивалентные представления бент-функций, классификации бент-функций от малого числа переменных, комбинаторные и алгебраические конструкции бент-функций, связь бент-функций с другими криптографическими свойствами. Изучаются расстояния между бент-функциями и группа автоморфизмов бент-функций. Рассматриваются верхние и нижние оценки числа бент-функций и гипотезы о его асимптотическом значении. Приводится детальный систематический обзор 25 различных обобщений бент-функций, рассматриваются открытые вопросы в данной области. Книга ^[1] 2015 года содержит более 125 теорем о бент-функциях и существенно расширяет книгу ^[2] , опубликованную в 2011 году.

Примечания

1. N. Tokareva. Bent functions: results and applications to cryptography (англ.) // Acad. Press. Elsevier, 2015. 220 pages. : journal. Архивировано 30 ноября 2016 года.
2. Токарева Н. Н. Нелинейные булевы функции: бент-функции и их обобщения Архивная копия от 14 июля 2012 на Wayback Machine // Издательство LAP LAMBERT Academic Publishing (Saarbrucken, Germany), 2011. ISBN 978-3-8433-0904-2. 180 с.
3. Rothaus O. On bent functions // IDA CRD W.P. No. 169. 1966.
4. O. S. Rothaus. On "Bent" Functions (англ.) // Journal of Combinatorial Theory, Series A : journal. — 1976. — May (vol. 20, no. 3). — P. 300—305. — ISSN 0097-3165. — doi:10.1016/0097-3165(76)90024-8. Архивировано 20 сентября 2022 года.
5. Молдовян А.А. Криптография. Скоростные шифры // БХВ-Петербург, 2002. ISBN 594157214X, ISBN 9785941572144. 496 c.