Альтернативная алгебра

Альтернативная алгебра — алгебра над полем, умножение в которой является альтернативным^[1]. Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, однако существуют и неассоциативные альтернативные алгебры, примером которых являются октавы. Обобщение октав, седенионы, уже не обладают свойством альтернативности.

Связь с алгеброй Мальцева

Для альтернативной алгебры и алгебры Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта. Имеется следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгебрами Мальцева: замена умножения g(A,B) в альтернативной алгебре M операцией коммутатора [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает её в алгебру Мальцева ${\displaystyle M^{(-)}}$.

Ассоциатор

С использованием ассоциатора

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}$

определяющие альтернативную алгебру тождества примут вид^[2]

${\displaystyle [x,x,y]=0}$

${\displaystyle [y,x,x]=0}$

для любых элементов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y.}$ Отсюда, в силу полилинейности ассоциатора, несложно получить, что

${\displaystyle [x,y,z]+[y,x,z]=0}$

${\displaystyle [x,y,z]+[x,z,y]=0}$

Таким образом, в альтернативной алгебре ассоциатор является альтернативной операцией:

${\displaystyle [x,y,z]=\mathrm {sgn} \,\sigma [\sigma (x),\sigma (y),\sigma (z)]}$

где ${\displaystyle \sigma }$ — перестановка элементов ${\displaystyle x,y,z,}$ ${\displaystyle \mathrm {sgn} \,\sigma }$ — чётность этой перестановки. Верно и обратное: если ассоциатор альтернативен, то кольцо альтернативно. Именно из-за связи с альтернативностью ассоциатора альтернативные кольца получили такое название.

Аналогично можно показать, что для альтернативности ассоциатора достаточно выполнения любых двух из следующих тождеств:

${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$

${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$

${\displaystyle (xy)x=x(yx)}$

откуда сразу следует третье из тождеств.

Примечания

1. «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
2. Жевалков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И., "Кольца, близкие к ассоциативным" М.: Наука, 1978. Глава 2, Параграф 3. стр. 49-55.

Литература

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.
• Schafer, Richard D. An Introduction to Nonassociative Algebras (англ.). — New York: Dover Publications, 1995. — ISBN 0-486-68813-5.

См. также

• Алгебра Ли
• Алгебра Мальцева