Алгебра Линденбаума — Тарского

А́лгебра Линденба́ума — Та́рского (часть источников называет её алгеброй Линденбаума) в математической логике определяется для логической теории ${\displaystyle T}$ как множество классов логически равносильных предложений этой теории.

Данная алгебра впервые появилась в статье Альфреда Тарского^[1] (1935 год) как способ установить соответствие между логикой высказываний и теорией булевых алгебр. Развитая Адольфом Линденбаумом и другими математиками, эта структура стала источником^[2] современной алгебраической логики^[англ.].

Определение

Пусть ${\displaystyle T}$ — логическая теория. Определим для её предложений отношение эквивалентности: ${\displaystyle P\sim Q}$, когда в данной теории доказуемы предложения ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ и ${\displaystyle Q\rightarrow P}$.

Определённые таким образом классы эквивалентности образуют факторсистему ${\displaystyle A}$, которая наследует из ${\displaystyle T}$ логические операции — обычно конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание и образует алгебру Гейтинга, которая называется алгеброй Линденбаума для логической теории ${\displaystyle T}$.^[3]

Если ${\displaystyle T}$ представляет собой исчисление высказываний в классической логике, ${\displaystyle A}$ образует булеву алгебру, называемую алгеброй Линденбаума — Тарского.

Примечания

1. A. Tarski. Logic, Semantics, and Metamathematics — Papers from 1923 to 1938 — Trans. J.H. Woodger (англ.) / J. Corcoran. — 2nd. — Hackett Pub. Co., 1983.
2. W.J. Blok, Don Pigozzi. Algebraizable logics (англ.) // Memoirs of the AMS. — 1989. — Vol. 77. Архивировано 15 ноября 2018 года.; here: pages 1-2
3. В. Е. Плиско, В. Х. Хананян. Интуиционистская логика. — Изд-во при мех.-мат. ф-те МГУ, 2009. — С. 102–106.

Литература

• Hinman, P. Fundamentals of Mathematical Logic (англ.). — A K Peters^[англ.], 2005. — ISBN 1-56881-262-0.