M-матрица

M-матрица в математике — это Z-матрица с собственными значениями, действительные части которой неотрицательны. Множество неособых M-матриц является подмножеством класса P-матриц, а также класса обратноположительных матриц (то есть матриц, обратные к которым принадлежат классу положительных матриц)^[1]. Название M-матрица, по-видимому, первоначально было выбрано Александром Островским в связи с Германом Минковским, который доказал, что если у Z-матрицы все суммы строк положительны, то определитель этой матрицы положителен^[2].

Характеристики

M-матрица обычно определяется следующим образом:

Определение: Пусть ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle n\times n}$ вещественная Z-матрица, то есть матрица ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ такова, что ${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$ для всех ${\displaystyle i\neq j}$, ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$. Тогда матрица ${\displaystyle A}$ также является M-матрицей, если она представима в виде ${\displaystyle A=sI-B}$, где ${\displaystyle B=(b_{ij})}$, ${\displaystyle b_{ij}\geq 0}$ для всех ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$, где s по меньшей мере так же велико, как максимум модулей собственных значений ${\displaystyle B}$, а ${\displaystyle I}$ — единичная матрица.

Для несингулярности^[англ.] матрицы ${\displaystyle A}$, согласно теореме Перрона-Фробениуса, должно выполняться условие s > ρ(B). Кроме того, для неособой M-матрицы диагональные элементы ${\displaystyle a_{ii}\leq 0}$ матрицы ${\displaystyle A}$ должны быть положительными. Далее характеризуется только класс неособых M-матриц.

Известно много утверждений, эквивалентных этому определению неособых M-матриц, и любое из этих утверждений может служить отправным определением неособой M-матрицы^[3]. Например, Племмонс перечисляет 40 таких эквивалентностей^[4]. Племмонс^[англ.] классифицировал эти характеристики с точки зрения их отношения к свойствам: (1) положительности главных миноров, (2) обратной положительности и расщеплений, (3) устойчивости и (4) полуположительности и диагонального доминирования. Имеет смысл классифицировать свойства таким образом, потому что операторы внутри определённой группы связаны друг с другом, даже если матрица ${\displaystyle A}$ является произвольной матрицей и не обязательно Z-матрицей.

Примечания

1. Fujimoto, Takao & Ranade, Ravindra (2004), "Two Characterizations of Inverse-Positive Matrices: The Hawkins-Simon Condition and the Le Chatelier-Braun Principle" (PDF), Electronic Journal of Linear Algebra, 11: 59—65, Архивировано (PDF) 2 октября 2023, Дата обращения: 18 сентября 2023.
2. Bermon, Abraham; Plemmons, Robert J. (1994), Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, p. 134,161 (Thm. 2.3 and Note 6.1 of chapter 6), ISBN 0-89871-321-8.
3. Fiedler, M; Ptak, V. (1962), "On matrices with non-positive off-diagonal elements and positive principal minors", Czechoslovak Mathematical Journal, 12 (3): 382—400, doi:10.21136/CMJ.1962.100526.
4. Plemmons, R.J. (1977), "M-Matrix Characterizations. I -- Nonsingular M-Matrices", Linear Algebra and its Applications, 18 (2): 175—188, doi:10.1016/0024-3795(77)90073-8.