Шарнирный четырёхзвенник

Шарнирный четырёхзвенник

${\displaystyle y}$

${\displaystyle O}$

${\displaystyle {\mathit {1}}}$

${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\mathit {2}}}$

${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\mathit {3}}}$

${\displaystyle C}$

${\displaystyle x}$

Шарни́рный четырёхзве́нник — плоский механизм из четырёх звеньев, соединенных между собой вращательными кинематическими парами^[1]. Одно из этих звеньев в теории механизмов и машин принимают за стойку, т. е. неподвижное звено (хотя, например, для механизмов транспортных машин понятие неподвижности стойки оказывается условностью, поскольку в этом случае сама стойка движется)^[2].

Для звеньев плоских механизмов в теории механизмов и машин используют^[1] следующую терминологию:

• кривошип — звено плоского механизма, которое образует вращательную пару со стойкой и может совершать вокруг оси пары полный оборот;
• коромысло — звено плоского механизма, которое образует вращательную пару со стойкой, но не может совершать полный оборот вокруг оси пары;
• шатун — звено плоского механизма, связанное вращательными парами с подвижными его звеньями, но не со стойкой.

Для шарнирного четырёхзвенника справедлива доказанная немецким механиком Ф. Грасгофом теорема Грасгофа о шарнирном четырёхзвеннике (иногда её также называют^[3] правилом Грасгофа): «Наименьшее звено является кривошипом, если сумма длин наименьшего и любого другого звена меньше суммы длин остальных двух звеньев^[4] (под «наименьшим» понимается звено минимальной длины).

Разновидности шарнирных четырёхзвенников

Применяя правило Грасгофа, удаётся подразделить^[5] все шарнирные четырёхзвенники на 3 группы:

• механизм будет кривошипно-коромысловым, если длины его звеньев удовлетворяют правилу Грасгофа и за стойку принято звено, соседнее с наименьшим;
• механизм будет двухкривошипным, если сумма длин самого короткого и самого длинного звеньев меньше суммы длин остальных звеньев, и за стойку принято самое короткое звено;
• механизм будет двухкоромысловым, если либо правило Грасгофа не выполнено, либо оно выполнено, но самое короткое звено не соединено со стойкой (т. е. оно является шатуном и потому не может быть кривошипом).

Кривошипно-коромысловый механизм

Так, представленный на приведённом выше рисунке шарнирный четырёхзвенник представляет собой двухкоромысловый механизм, поскольку правило Грасгофа для него не выполняется.

Справа дано анимированное изображение кривошипно-коромыслового механизма  (здесь стойкой служит звено ${\displaystyle AB}$,  кривошипом — звено ${\displaystyle AD}$,  коромыслом — звено ${\displaystyle BC}$  и шатуном — треугольник ${\displaystyle DCE}$ ).

Кинематический анализ

Кинематический анализ шарнирного четырёхзвенника можно^[6] выполнить, применяя методы, основанные на построении плана скоростей. Можно воспользоваться и аналитическими методами — как общего характера (например, методом кинематических графов^[7]), так и методами, специально предназначенными для кинематического анализа шарнирного четырёхзвенника.

К числу последних относится предложенный в 2002 г. М. Н. Кирсановым метод, основанный на составлении уравнений трёх угловых скоростей^[8]. Составим такие уравнения для механизма, представленного на верхнем рисунке.

Для этого присвоим шарнирам  ${\displaystyle O,\,A,\,B,\,C}$  номера  ${\displaystyle {\mathit {1}},\,{\mathit {2}},\,{\mathit {3}},\,{\mathit {4}}}$ ;  при этом для декартовых координат шарнира ${\displaystyle O}$  получаем обозначения  ${\displaystyle x_{1}}$  и  ${\displaystyle y_{1}}$ ,  и т. п.

Уравнения трёх угловых скоростей для рассматриваемого шарнирного четырёхзвенника имеют вид

${\displaystyle {\omega }_{1z}\,(x_{2}\,-\,x_{1})\,+\,{\omega }_{2z}\,(x_{3}\,-\,x_{2})\,+\,{\omega }_{3z}\,(x_{4}\,-\,x_{3})\,\;=\;\,0}$  ,

${\displaystyle {\omega }_{1z}\,(y_{2}\,-\,y_{1})\,\,+\,{\omega }_{2z}\,(y_{3}\,-\,y_{2})\,\,+\,{\omega }_{3z}\,(y_{4}\,-\,y_{3})\,\;=\;\,0}$  ,

где  ${\displaystyle {\omega }_{1z},\,{\omega }_{2z},\,{\omega }_{3z}}$  — угловые скорости звеньев  ${\displaystyle {\mathit {1}},\,{\mathit {2}},\,{\mathit {3}}}$ .

Пользуясь данными уравнениями, можно, например, найти для текущей конфигурации механизма значения угловых скоростей двух его звеньев, если значение угловой скорости третьего подвижного звена известно.

Применение

Примеры практического применения шарнирного четырёхзвенника — механизм насоса, механизм сеноворошилки, механизм тестомесильной машины, механизм подъёмного крана. К шарнирным четырёхзвенникам относятся и четырёхзвенные приближённо-направляющие механизмы, предложенные П. Л. Чебышёвым (в них обеспечивается приближённое прямолинейное движение одной из точек шатуна). Частным случаем шарнирного четырёхзвенника является механизм шарнирного параллелограмма — четырёхзвенника с попарно равными по длине и попарно параллельными сторонами^[9].

Примечания

1. Артоболевский, 1965, с. 22.
2. Фролов, Попов, Мусатов, 1987, с. 19.
3. Фролов, Попов, Мусатов, 1987, с. 308.
4. Юдин, Петрокас, 1967, с. 55.
5. Фролов, Попов, Мусатов, 1987, с. 308—309.
6. Артоболевский, 1965, с. 207—209.
7. Новожилов И. В., Зацепин М. Ф.  Типовые расчёты по теоретической механике на базе ЭВМ. — М.: Высшая школа, 1986. — С. 32, 39, 50—51.
8. Кирсанов М. Н.  Решебник. Теоретическая механика. — М.: Физматлит, 2002. — С. 179—183.
9. Артоболевский, 1965, с. 22—26.

Литература

• Артоболевский И. И.  Теория механизмов. — М.: Наука, 1965. — 776 с.
• Фролов К. В., Попов С. А., Мусатов А. К.  Теория механизмов и машин / Под ред. К. В. Фролова. — М.: Высшая школа, 1987. — 496 с.
• Юдин В. А., Петрокас Л. В.  Теория механизмов и машин. — М.: Высшая школа, 1967. — 528 с.