Турнир (теория графов)

Турнир с 4 вершинами
вершин ${\displaystyle n}$
рёбер: ${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$

Турнир — это ориентированный граф, полученный из неориентированного полного графа путём назначения направления каждому ребру. Таким образом, турнир — это орграф, в котором каждая пара вершин соединена одной направленной дугой.

Много важных свойств турниров рассмотрены Ландау (Landau)^[1] для того, чтобы исследовать модель доминирования цыплят в стае. Текущие приложения турниров включают исследования в области голосования и коллективного выбора^[англ.] среди других прочих вещей. Имя турнир исходит из графической интерпретации исходов кругового турнира, в котором каждый игрок встречается в схватке с каждым другим игроком ровно раз, и в котором не может быть ничьих. В орграфе турнира вершины соответствуют игрокам. Дуга между каждой парой игроков ориентирована от выигравшего к проигравшему. Если игрок ${\displaystyle a}$ побеждает игрока ${\displaystyle b}$, то говорят, что ${\displaystyle a}$ доминирует над ${\displaystyle b}$.

Пути и циклы

Любой турнир с конечным числом ${\displaystyle n}$ вершин содержит гамильтонов путь, то есть ориентированный путь, содержащий все ${\displaystyle n}$ вершин^[2]. Это легко показать с помощью математической индукции по ${\displaystyle n}$: пусть утверждение верно для ${\displaystyle n}$, и пусть имеется некий турнир ${\displaystyle T}$ с ${\displaystyle n+1}$ вершинами. Выберем вершину ${\displaystyle v_{0}}$ в ${\displaystyle T}$ и пусть ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}}$ — направленный путь в ${\displaystyle T\setminus \{v_{0}\}}$. Пусть ${\displaystyle i\in \{0,\ldots ,n\}}$ — максимальное число такое, что для любого ${\displaystyle j\leq i}$ имеется дуга из ${\displaystyle v_{j}}$ в ${\displaystyle v_{0}}$. Тогда

${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{i},v_{0},v_{i+1},\ldots ,v_{n}}$

— искомый ориентированный путь. Это доказательство даёт также алгоритм поиска гамильтонова пути. Известен более эффективный алгоритм, требующий перебора всего ${\displaystyle \ O(n\log n)}$ дуг^[3].

Это означает, что строго связный турнир имеет гамильтонов цикл^[4]. Более строго: любой сильно связанный турнир является вершинно панциклическим — для любой вершины v и для любого k от трёх до числа вершин в турнире имеется цикл длины k, содержащий v^[5]. Более того, если турнир 4-связен, любая пара вершин может быть соединена гамильтоновым путём^[6].

Транзитивность

Транзитивный турнир с 8 вершинами.

Турнир, в котором ${\displaystyle ((a\rightarrow b)}$ и ${\displaystyle (b\rightarrow c))}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle (a\rightarrow c)}$, называется транзитивным. В транзитивном турнире вершины могут быть полностью упорядочены в порядке достижимости.

Эквивалентные условия

Следующие утверждения для турнира с n вершинами эквивалентны:

1. T транзитивен.
2. T ацикличен.
3. T не содержит циклов длины 3 (для n != 3).
4. Последовательность числа выигрышей (множество полуисходов) T есть {0,1,2,…,n − 1}.
5. T содержит ровно один гамильтонов путь.

Теория Рамсея

Транзитивные турниры играют существенную роль в теории Рамсея, аналогичную роли, которую играют клики в неориентированных графах. В частности, любой турнир с n вершинами содержит транзитивный подтурнир с ${\displaystyle 1+\lfloor \log _{2}n\rfloor }$ вершинами^[7]. Доказательство просто: выберем любую вершину v как часть этого подтурнира и построим подтурнир рекурсивно на множестве либо входящих соседей вершины v, либо на множестве исходящих соседей, в зависимости от того, какое множество больше. Например, любой турнир с семью вершинами содержит транзитивный турнир с тремя вершинами. Турнир Пэли с семью вершинами показывает, что это максимум, что можно гарантировать^[7]. Однако Рейд и Паркер^[8] показали, что эта граница не строга для некоторых больших значений числа n.

Эрдёш и Мозер^[7] доказали, что существуют турниры с n вершинами без транзитивных подтурниров размера ${\displaystyle 2+2\lfloor \log _{2}n\rfloor }$. Их доказательство использует подсчёт^[англ.]: число вариантов в которых транзитивный турнир с k вершинами может содержаться в большем турнире с n помеченными вершинами, равно

${\displaystyle {\binom {n}{k}}k!2^{{\binom {n}{2}}-{\binom {k}{2}}},}$

и при k превосходящем ${\displaystyle 2+2\lfloor \log _{2}n\rfloor }$ это число слишком мало, чтобы транзитивный турнир оказался в каждом из ${\displaystyle 2^{\binom {n}{2}}}$ различных турниров одного и того же множества из n помеченных вершин.

Парадоксальные турниры

Игрок, выигравший все игры, естественно, будет победителем турнира. Однако, как показывает существование нетранзитивных турниров, такого игрока может не оказаться. Турнир, в котором каждый игрок проигрывает хотя бы одну игру называется 1-парадоксальным турниром. Обобщая, Турнир T=(V,E) называется k-парадоксальным, если для любого k-элементного подмножества S множества V существует вершина v₀ в ${\displaystyle V\setminus S}$, такая что ${\displaystyle v_{0}\rightarrow v}$ для всех ${\displaystyle v\in S}$. Посредством вероятностного метода Эрдёш показал, что для любого фиксированного k при условии |V| ≥ k²2^kln(2 + o(1)) почти любой турнир на V является k-парадоксальным^[9]. С другой стороны, простой аргумент показывает, что любой k-парадоксальный турнир должен иметь по меньшей мере 2^k+1 − 1 игроков, что было улучшено до (k + 2)2^k−1 − 1 Эстер и Дьёрдьем Секерешами (1965)^[10]. Существует явный метод построения k-парадоксальных турниров с k²4^k−1(1 + o(1)) игроками, разработанный Грэмом и Спенсером, а именно, турнир Пэли^[11].

Конденсация

Конденсация^[англ.] любого турнира является транзитивным турниром. Таким образом, даже если турнир не является транзитивным, сильно связанные компоненты турнира могут быть полностью упорядочены^[12].

Последовательности результатов и множества результатов

Последовательность результатов турнира — это неубывающая последовательность полустепеней исхода вершин турнира. Множество результатов турнира — это множество целых чисел, являющихся полустепенями исхода вершин турнира.

Теорема Ландау (1953) — неубывающая последовательность целых чисел ${\displaystyle (s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n})}$ является последовательностью результатов тогда и только тогда, когда:

1. ${\displaystyle 0\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots \leq s_{n}}$
2. ${\displaystyle s_{1}+s_{2}+\cdots +s_{i}\geq {i \choose 2},}$ для ${\displaystyle i=1,2,\cdots ,n-1}$
3. ${\displaystyle s_{1}+s_{2}+\cdots +s_{n}={n \choose 2}.}$

Пусть ${\displaystyle s(n)}$ — число различных последовательностей результатов размера ${\displaystyle n}$. Последовательность ${\displaystyle s(n)}$ начинается с:

1, 1, 1, 2, 4, 9, 22, 59, 167, 490, 1486, 4639, 14 805, 48 107, …

(последовательность A000571 в OEIS)

Уинстон и Клейтман доказали, что для достаточно больших n

${\displaystyle s(n)>c_{1}4^{n}n^{-{5 \over 2}},}$

где ${\displaystyle c_{1}=0.049.}$ Такач позже показал^[13], используя некоторое правдоподобное, но недоказанное предположение, что

${\displaystyle s(n)<c_{2}4^{n}n^{-{5 \over 2}},}$

где ${\displaystyle c_{2}<4,858.}$

Вместе это свидетельствует о том, что

${\displaystyle s(n)\in \Theta (4^{n}n^{-{5 \over 2}}).}$

Здесь ${\displaystyle \Theta }$ отражает асимптотически строгую границу.

Яо показал^[14], что любое непустое множество неотрицательных целых чисел является множеством результатов для некоторого турнира.

См. также

• Ориентированный граф
• Турнир Пэли
• Турнир Штокмейера^[англ.]
• Гипотеза Самнера

Примечания

1. H. G. Landau. On dominance relations and the structure of animal societies. III. The condition for a score structure // Bulletin of Mathematical Biophysics. — 1953. — Т. 15, вып. 2. — С. 143—148. — doi:10.1007/BF02476378.
2. Lázló Rédei. Ein kombinatorischer Satz // Acta Litteraria Szeged. — 1934. — Т. 7. — С. 39—43.
3. A. Bar-Noy, J. Naor. Sorting, Minimal Feedback Sets and Hamilton Paths in Tournaments // SIAM Journal on Discrete Mathematics. — 1990. — Т. 3, вып. 1. — С. 7—20. — doi:10.1137/0403002.
4. Chemins et circuits hamiltoniens des graphes complets // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris. — 1959. — Т. 249. — С. 2151—2152.
5. J. W. Moon. On subtournaments of a tournament // Canadian Mathematical Bulletin. — 1966. — Т. 9, вып. 3. — С. 297—301. — doi:10.4153/CMB-1966-038-7. Архивировано 3 марта 2016 года.
6. Carsten Thomassen. Hamiltonian-Connected Tournaments // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 1980. — Т. 28, вып. 2. — С. 142—163. — doi:10.1016/0095-8956(80)90061-1.
7. Paul Erdős, Leo Moser. On the representation of directed graphs as unions of orderings // Magyar Tud. Akad. Mat. Kutató Int. Közl. — 1964. — Т. 9. — С. 125-132. Архивировано 13 декабря 2013 года.
8. K. B. Reid, E. T. Parker. Disproof of a conjecture of Erdös and Moser // Journal of Combinatorial Theory. — 1970. — Т. 9, вып. 3. — С. 225—238. — doi:10.1016/S0021-9800(70)80061-8.
9. Paul Erdős. On a problem in graph theory // The Mathematical Gazette. — 1963. — Т. 47. — С. 220—223. — JSTOR 3613396. Архивировано 22 декабря 2014 года.
10. Esther Szekeres, George Szekeres. On a problem of Schütte and Erdős // The Mathematical Gazette. — 1965. — Т. 49. — С. 290—293.
11. Ronald Graham, Joel Spencer. A constructive solution to a tournament problem // Canadian Mathematical Bulletin. Bulletin Canadien de Mathématiques. — 1971. — Т. 14. — С. 45—48.
12. Frank Harary, Leo Moser. The theory of round robin tournaments // American Mathematical Monthly. — 1966. — Т. 73, вып. 3. — С. 231—246. — doi:10.2307/2315334. — JSTOR 2315334.
13. Lajos Takács. A Bernoulli Excursion and Its Various Applications // Advances in Applied Probability. — 1991. — Т. 23, вып. 3. — С. 557—585. — doi:10.2307/1427622. — JSTOR 1427622.
14. T. X. Yao. On Reid Conjecture Of Score Sets For Tournaments // Chinese Sci. Bull. — 1989. — Т. 34. — С. 804—808.