Трёхгранник Френе

Репер Френе и соприкасающаяся плоскость кривой.

Трёхгранник Френе, движущийся по винтовой линии на торе

Базис, репер или трёхгранник Френе или Френе — Серре известный также, как естественный, сопровождающий, сопутствующий — ортонормированный репер в трёхмерном пространстве, возникающий при изучении бирегулярных кривых, то есть таких, что первая и вторая производная линейно независимы в любой точке.

Определение

Пусть ${\displaystyle r(s)}$ — произвольная натурально параметризованная бирегулярная кривая в евклидовом пространстве. Под репером Френе понимают тройку векторов ${\displaystyle \tau }$, ${\displaystyle \nu }$, ${\displaystyle \beta }$, сопоставленную каждой точке бирегулярной кривой ${\displaystyle r(s)}$, где

• ${\displaystyle \tau ={\dot {r}}(s)}$ — единичный касательный вектор,
• ${\displaystyle \nu ={\frac {{\ddot {r}}(s)}{||{\ddot {r}}(s)||}}}$ — единичный вектор главной нормали,
• ${\displaystyle \beta =[\tau ,\nu ]}$ — единичный вектор бинормали к кривой в данной точке.

Свойства

• Если ${\displaystyle s}$ — естественный параметр ${\displaystyle s}$ кривой, то векторы ${\displaystyle {\tau },{\nu },{\beta }}$ связаны соотношениями:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\tau }}&=k\cdot {\nu },\\{\dot {\nu }}&=-k\cdot {\tau }+t\cdot {\beta },\\{\dot {\beta }}&=-t\cdot {\nu },\end{aligned}}}$

называемыми формулами Френе. Величины

${\displaystyle k=||{\ddot {r}}(s)||,\quad t=-\langle {\dot {\beta }},\;{\nu }\rangle }$

называют, соответственно, кривизной и кручением кривой в данной точке.

• Функции ${\displaystyle k(s)}$ и ${\displaystyle t(s),}$ определяют кривую с точностью до движения пространства.
  • Более того в случае если ${\displaystyle k(s)>0}$, такая кривая существует.

Скорость и ускорение в осях естественного трёхгранника

Трёхгранник Френе играет важную роль в кинематике точки при описании её движения в «сопутствующих осях». Пусть материальная точка движется по произвольной бирегулярной кривой. Тогда, очевидно, скорость точки направлена по касательному вектору ${\displaystyle {v}=v{\tau }}$. Дифференцируя по времени находим выражение для ускорения: ${\displaystyle {a}={\dot {v}}{\tau }+v^{2}k{\nu }}$. Компоненту при векторе ${\displaystyle {\tau }}$ называют тангенциальным ускорением, она характеризует изменение модуля скорости точки. Компоненту при векторе ${\displaystyle {\nu }}$ называют нормальным ускорением. Она показывает, как меняется направление движения точки.

Вариации и обобщения

При описании плоских кривых часто вводят понятие так называемой ориентированной кривизны.

Пусть ${\displaystyle \gamma (s)}$ — произвольная натурально параметризованная плоская регулярная кривая. Рассмотрим семейство единичных нормалей ${\displaystyle {\nu _{o}}}$, таких что двойка ${\displaystyle ({\tau },{\nu _{o}})}$ образуют правый базис в каждой точке ${\displaystyle \mathbf {\gamma } (s)}$. Ориентированной кривизной кривой ${\displaystyle \gamma }$ в точке ${\displaystyle s}$ называют число ${\displaystyle k_{o}=\langle {\ddot {\gamma }}(s),\;{\nu _{o}}\rangle }$. В сделанных предположениях имеет место следующая система уравнений, называемая формулами Френе для ориентированной кривизны

${\displaystyle {\dot {\tau }}=k_{o}{\nu _{o}}\quad {\dot {\nu _{o}}}=-k_{o}{\tau }}$.

По аналогии с трёхмерным случаем, уравнения вида ${\displaystyle k_{o}=f(s)}$ называются натуральными уравнениями плоской регулярной кривой и полностью её определяют.

См. также

• Трёхгранник Дарбу — аналогичная конструкция для кривой на поверхности.

Литература

• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.